Chapitre 1 — Modèles définis par une fonction et calculs d'aires

Programme officiel — BO du 25 juillet 2019, enseignement optionnel de mathématiques complémentaires en terminale (3h/semaine).

Évaluation : contrôle continu (pas d'écrit final national).

Cadrage

Le programme de maths complémentaires couvre 9 thèmes dont 4 portent sur les fonctions et leurs applications :

Modèles définis par une fonction d'une variable
Modèles d'évolution
Approche historique de la fonction logarithme
Calculs d'aires

Cette fiche regroupe ces 4 thèmes interconnectés.

Modèles définis par une fonction d'une variable

Rappels essentiels de spé 1ère

Fonction polynomiale du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c$ :

Discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$
Racines (si $\Delta \geq 0$ ) : $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
Forme canonique : $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$

Dérivée et sens de variation : $f' > 0$ → $f$ croissante ; $f' < 0$ → $f$ décroissante.

Optimisation

Méthode : pour trouver l'extremum d'une fonction $f$ sur un intervalle $[a, b]$ :

Calculer $f'(x)$ .
Résoudre $f'(x) = 0$ (points critiques).
Étudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variations.
Comparer les valeurs aux points critiques et aux bornes.

Exemple typique : maximiser le profit d'une entreprise $P(x) = -x^2 + 60x - 500$ sur $[10, 50]$ .

$P'(x) = -2x + 60$ , s'annule en $x = 30$ .
$P'(x) > 0$ sur $[10, 30]$ , $P'(x) < 0$ sur $[30, 50]$ .
Maximum atteint en $x = 30$ : $P(30) = -900 + 1800 - 500 = 400$ .

Modèles d'évolution

Suites arithmétiques et géométriques

Arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$ . Modélise une croissance/décroissance linéaire (loyer fixe, retraite à versements constants).

Géométrique : $u_{n+1} = q \cdot u_n$ . Modélise une croissance/décroissance exponentielle (intérêts composés, désintégration radioactive, croissance bactérienne).

Formule des intérêts composés : capital $C_0$ placé à taux $t$ pendant $n$ années : $C_n = C_0 \cdot (1 + t)^n$

Exemple : 10 000 € placés à 3 % pendant 10 ans = $10000 \cdot 1{,}03^{10} \approx 13439{,}16$ €.

Suites définies par récurrence

Si $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $u_0$ donné :

Si $f$ est croissante : $(u_n)$ est monotone (croissante si $u_1 > u_0$ , décroissante sinon).
Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et $f$ continue : $\ell$ vérifie $\ell = f(\ell)$ (point fixe).

Approche historique du logarithme

Contexte historique

Le logarithme est inventé par John Napier (1614) et Henry Briggs (1617) pour simplifier les calculs astronomiques et commerciaux. Idée : transformer une multiplication en addition via une table de correspondance.

$\ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b)$

À l'époque sans calculatrice, multiplier $327 \times 845$ devenait : chercher $\log(327)$ et $\log(845)$ dans une table, les additionner, et chercher dans la table inverse.

Définition moderne

La fonction $\ln$ est l'unique primitive de $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ sur $]0, +\infty[$ qui s'annule en 1 : $\ln(x) = \int_1^x \dfrac{dt}{t}$

Propriétés fondamentales

$\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \qquad \ln(a^n) = n \ln(a) \qquad \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$

Dérivée : $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$ .

Limites : $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ · $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ .

Croissance comparée : $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$ .

Calculs d'aires

Intégrale d'une fonction continue positive

Pour $f \geq 0$ continue sur $[a, b]$ , l'aire sous la courbe entre $a$ et $b$ est : $\mathcal{A} = \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$ où $F$ est une primitive de $f$ .

Primitives usuelles

$f(x)$	$F(x)$
$x^n$ ( $n \neq -1$ )	$\frac{x^{n+1}}{n+1}$
$\frac{1}{x}$	$\ln
$e^x$	$e^x$

Méthode pour calculer une aire

Identifier la fonction et l'intervalle d'intégration.
Vérifier que $f \geq 0$ sur l'intervalle (sinon, séparer les cas).
Trouver une primitive $F$ .
Calculer $F(b) - F(a)$ .

Exemple : aire sous la courbe de $f(x) = x^2$ entre 0 et 2. $F(x) = \dfrac{x^3}{3}$ . $\mathcal{A} = F(2) - F(0) = \dfrac{8}{3} - 0 = \dfrac{8}{3}$ u.a.

Aire entre deux courbes

Si $f \geq g$ sur $[a, b]$ : $\mathcal{A} = \int_a^b (f(x) - g(x)) \, dx$

Exercice-type

Énoncé : Une entreprise modélise son chiffre d'affaires mensuel par $f(t) = 50 + 20 \ln(t + 1)$ (en milliers d'euros, $t$ en mois).

Calculer $f(0)$ , $f(11)$ . Interpréter.
Étudier le sens de variation de $f$ sur $[0, 12]$ .
Calculer le chiffre d'affaires moyen mensuel sur l'année.

Corrigé :

$f(0) = 50 + 20 \ln(1) = 50$ k€. $f(11) = 50 + 20 \ln(12) \approx 50 + 49{,}7 \approx 99{,}7$ k€. Le CA augmente de 50 à ~100 k€ en 1 an.
$f'(t) = \dfrac{20}{t + 1} > 0$ sur $[0, 12]$ . Donc $f$ est strictement croissante.
CA moyen = $\dfrac{1}{12} \int_0^{12} f(t) \, dt$ . $\int_0^{12} (50 + 20 \ln(t+1)) \, dt = [50t + 20((t+1)\ln(t+1) - (t+1))]_0^{12}$ $= 600 + 20(13 \ln(13) - 13 - (\ln(1) - 1)) = 600 + 20 \cdot 13 \ln(13) - 240$ $\approx 600 + 333{,}4 - 240 = 693{,}4$ k€. CA moyen mensuel : $693{,}4 / 12 \approx 57{,}8$ k€.

Pièges à éviter

Confondre arithmétique et géométrique. Linéaire vs exponentielle. Ne pas appliquer la formule de l'une à l'autre.
Oublier la condition $f \geq 0$ pour le calcul d'aire. Si $f$ change de signe, séparer les intervalles.
Mal lire un énoncé d'optimisation. Toujours vérifier que l'extremum est dans l'intervalle d'étude (sinon, examiner les bornes).
Erreur sur la primitive de $\frac{1}{x}$ . C'est $\ln|x|$ , pas $\frac{x^0}{0}$ (impossible).

Q&R pour le tuteur IA

Q : Quelle différence entre suite arithmétique et géométrique ? R : Arithmétique : différence constante entre termes consécutifs ( $u_{n+1} - u_n = r$ ), croissance linéaire. Géométrique : rapport constant ( $u_{n+1}/u_n = q$ ), croissance exponentielle. Visuellement : arithmétique = droite, géométrique = courbe exponentielle.

Q : Comment résoudre une équation $\ln(x) = a$ ? R : Appliquer $e^x$ aux deux membres : $e^{\ln(x)} = e^a$ , donc $x = e^a$ . Vérifier que $x > 0$ (domaine de $\ln$ ).

Q : Que signifie "valeur moyenne" d'une fonction sur un intervalle ? R : C'est la hauteur du rectangle de base $[a, b]$ ayant la même aire que l'aire sous la courbe : $\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f$ . Permet de comparer des fonctions sur des intervalles différents.