Chapitre 2 — Répartition des richesses et inégalités

Programme officiel — Maths complémentaires, thème "Répartition des richesses et inégalités".

Mobilise : intégrales, courbes paramétrées simples, statistiques descriptives.

Cadrage

Ce thème mobilise les outils mathématiques (intégrales, fonctions, indicateurs statistiques) pour mesurer les inégalités économiques et sociales. Concept central : la courbe de Lorenz et l'indice de Gini.

Courbe de Lorenz

Définition

Pour une population classée par revenu croissant, la courbe de Lorenz $L$ est la fonction qui à $x \in [0, 1]$ associe la part cumulée des revenus détenue par les $x$ % les plus pauvres.

• $L(0) = 0$ (les 0 % les plus pauvres détiennent 0 % du revenu).
• $L(1) = 1$ (les 100 % détiennent 100 %).
• $L$ est croissante et convexe (la pente augmente à mesure qu'on va vers les hauts revenus).

Propriété centrale

$L(x) \leq x$ pour tout $x \in [0, 1]$ (les $x$ % les plus pauvres détiennent toujours moins de $x$ % du revenu, sauf en cas d'égalité parfaite).

Égalité parfaite : $L(x) = x$ → la courbe de Lorenz est la première bissectrice.

Inégalité maximale : $L(x) = 0$ pour $x < 1$ et $L(1) = 1$ → une seule personne détient tout.

Représentation

   1 ┤ . . . . . . . . . . *
     │                  .
     │              .   /  (égalité parfaite)
     │          .     /
   L │      .       /
     │    .       /  ←  (Lorenz typique)
     │   .      /
     │  .    /
     │ .  /
     │.
   0 ┼───────────────────► x
     0                    1

Indice de Gini

Définition

L'indice de Gini $G$ mesure l'écart de la courbe de Lorenz à la situation d'égalité parfaite : $G = 2 \int_0^1 (x - L(x)) \, dx = 1 - 2 \int_0^1 L(x) \, dx$

Interprétation géométrique : $G$ est deux fois l'aire entre la courbe de Lorenz et la première bissectrice.

Propriétés

• $G \in [0, 1]$.
• $G = 0$ : égalité parfaite.
• $G = 1$ : inégalité maximale.
• Plus $G$ est élevé, plus la société est inégalitaire.

Valeurs typiques (2024-2025)

Source : Banque mondiale, OCDE.

Calculs typiques

Calcul de Gini à partir d'une courbe de Lorenz donnée

Exemple : on modélise la courbe de Lorenz d'un pays par $L(x) = x^2$ sur $[0, 1]$.

$G = 1 - 2 \int_0^1 x^2 \, dx = 1 - 2 \cdot \dfrac{1}{3} = 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}33$

Conclusion : pays modérément inégalitaire.

Décile et part des hauts revenus

À partir de la courbe de Lorenz :

• Part détenue par les 50 % les plus pauvres : $L(0{,}5)$.
• Part détenue par les 10 % les plus riches : $1 - L(0{,}9)$.

Exemple : avec $L(x) = x^2$, les 50 % les plus pauvres détiennent $L(0{,}5) = 0{,}25 = 25 \%$. Les 10 % les plus riches détiennent $1 - L(0{,}9) = 1 - 0{,}81 = 19 \%$ (à comparer aux 10 % qu'ils auraient en égalité parfaite).

Médiane, moyenne et inégalités

Définitions

• Moyenne $\bar{x}$ : somme des valeurs / nombre d'individus. Sensible aux valeurs extrêmes.
• Médiane $m$ : valeur séparant la population en 2 moitiés égales. Robuste aux valeurs extrêmes.

Indicateur d'inégalité simple

$\dfrac{\bar{x}}{m} > 1$ ↔ population déséquilibrée vers les valeurs élevées (revenus, salaires).

Exemple : si la moyenne des salaires est de 2 800 € et la médiane de 2 200 €, le ratio = 1,27. La distribution est tirée vers le haut par les hauts salaires.

Exercice-type

Énoncé : Dans un pays, la courbe de Lorenz des revenus est modélisée par $L(x) = \dfrac{x^2 + x^3}{2}$ sur $[0, 1]$.

1. Vérifier que $L(0) = 0$ et $L(1) = 1$.
2. Calculer la part de revenu détenue par les 50 % les plus pauvres.
3. Calculer l'indice de Gini.

Corrigé :

1. $L(0) = 0$. $L(1) = \dfrac{1 + 1}{2} = 1$. ✓

2. $L(0{,}5) = \dfrac{0{,}25 + 0{,}125}{2} = \dfrac{0{,}375}{2} = 0{,}1875$ → 18,75 %.

3. $\int_0^1 L(x) \, dx = \int_0^1 \dfrac{x^2 + x^3}{2} \, dx = \dfrac{1}{2} \left[\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^4}{4}\right]_0^1 = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{7}{12} = \dfrac{7}{24}$.

$G = 1 - 2 \cdot \dfrac{7}{24} = 1 - \dfrac{7}{12} = \dfrac{5}{12} \approx 0{,}42$. Pays inégalitaire.

Pièges à éviter

1. Ne pas confondre $L$ croissante et $L \leq x$. $L$ est toujours croissante (population classée par revenu croissant), mais $L(x) \leq x$ (sauf égalité parfaite).
2. Confondre Gini et part de revenu. Gini = mesure globale d'inégalité. Part de revenu = mesure locale (à un percentile donné).
3. Erreur sur le facteur 2 dans Gini. $G = 2 \times$ aire entre courbe et bissectrice. Ne pas oublier le 2.

Q&R pour le tuteur IA

Q : Pourquoi l'indice de Gini est-il toujours entre 0 et 1 ? R : Parce qu'il mesure une aire entre 0 (égalité) et l'aire maximale possible (1 quand toute la richesse est détenue par une personne). Multiplié par 2 pour normaliser entre 0 et 1.

Q : Comment construire la courbe de Lorenz à partir de données brutes ? R : (1) Classer la population par revenu croissant. (2) Calculer les revenus cumulés et la population cumulée. (3) Normaliser : abscisse = % de population, ordonnée = % de revenu détenu. (4) Tracer.

Q : Le Gini reflète-t-il toutes les inégalités ? R : Non. Il ne dit rien sur le niveau absolu de richesse (un pays pauvre peu inégalitaire vs un pays riche très inégalitaire). Il est aussi insensible aux extrêmes (deux Lorenz très différentes peuvent avoir le même Gini).