Chapitre 1 — Nombres complexes

Programme officiel — Maths expertes (enseignement optionnel terminale, 3h/sem).

Évaluation : contrôle continu (pas d'écrit final national).

Définition et formes

Forme algébrique

Un nombre complexe $z$ s'écrit : $z = a + ib$ où $a, b \in \mathbb{R}$ et $i$ est un nombre tel que $i^2 = -1$ .

Partie réelle : $\text{Re}(z) = a$ .
Partie imaginaire : $\text{Im}(z) = b$ .
Conjugué : $\overline{z} = a - ib$ .

Cas particuliers : $z = a$ (réel pur) si $b = 0$ ; $z = ib$ (imaginaire pur) si $a = 0$ .

Module et argument

Module : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ (distance de $z$ à l'origine dans le plan complexe).

Argument : si $z \neq 0$ , $\arg(z) = \theta$ tel que : $\cos(\theta) = \dfrac{a}{|z|} \qquad \sin(\theta) = \dfrac{b}{|z|}$

L'argument est défini modulo $2\pi$ .

Forme trigonométrique et exponentielle

Trigonométrique : $z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)$ .

Exponentielle : $z = |z| \cdot e^{i\theta}$ (notation d'Euler).

Formule d'Euler : $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ .

Opérations

Addition et soustraction

Composante par composante : $(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)$ .

Multiplication

$(a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc)$ .

En forme exponentielle : $z_1 z_2 = |z_1||z_2| e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$ . Les modules se multiplient, les arguments s'additionnent.

Division

$\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1 \overline{z_2}}{|z_2|^2}$ (multiplier par le conjugué du dénominateur).

En forme exponentielle : $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{|z_1|}{|z_2|} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$ .

Puissances et formule de De Moivre

$(re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta}$ , donc : $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \quad \text{(De Moivre)}$

Permet de calculer rapidement de grandes puissances.

Équations dans $\mathbb{C}$

Équation du second degré $az^2 + bz + c = 0$

Discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$ .

Si $\Delta > 0$ : 2 solutions réelles $z_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ .
Si $\Delta = 0$ : 1 solution double $z = -\dfrac{b}{2a}$ .
Si $\Delta < 0$ : 2 solutions complexes conjuguées : $z_{1,2} = \dfrac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$

Racines $n$ -ièmes de l'unité

Les solutions de $z^n = 1$ sont : $z_k = e^{i \cdot 2k\pi/n}, \quad k = 0, 1, ..., n-1$

Géométriquement : $n$ points équirépartis sur le cercle unité.

Exemple : racines cubiques de l'unité = $1, e^{i 2\pi/3}, e^{i 4\pi/3} = 1, j, j^2$ avec $j = e^{i2\pi/3}$ .

Géométrie complexe

Plan complexe

À tout complexe $z = a + ib$ on associe le point $M(a; b)$ dans un repère orthonormé. On note $M$ "l'image" de $z$ et $z$ "l'affixe" de $M$ .

Distances et angles

Distance $AB = |z_B - z_A|$ .
Angle $(\vec{OA}, \vec{OB}) = \arg\left(\dfrac{z_B}{z_A}\right) \pmod{2\pi}$ .

Transformations du plan complexe

Translation par $\vec{u}$ d'affixe $b$ : $z \mapsto z + b$ .
Rotation de centre $O$ et angle $\theta$ : $z \mapsto e^{i\theta} z$ .
Homothétie de centre $O$ et rapport $k$ : $z \mapsto kz$ .
Symétrie par rapport à l'axe des réels : $z \mapsto \overline{z}$ .

Exercice-type

Énoncé : Résoudre $z^2 - 2z + 5 = 0$ dans $\mathbb{C}$ . Puis calculer le module et l'argument de chacune des solutions.

Corrigé :

Discriminant : $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ .

Solutions : $z_{1,2} = \dfrac{2 \pm i\sqrt{16}}{2} = 1 \pm 2i$ .

$z_1 = 1 + 2i$ : $|z_1| = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ . $\cos\theta = 1/\sqrt{5}$ , $\sin\theta = 2/\sqrt{5}$ . Donc $\theta = \arctan(2) \approx 1{,}107$ rad.
$z_2 = 1 - 2i = \overline{z_1}$ : même module $\sqrt{5}$ , argument $-\arctan(2)$ .

Pièges classiques

$i^2 = -1$ , pas $i^2 = 1$ . Erreur de signe fréquente.
Confondre module et carré du module. $|z|^2 = z \overline{z}$ (réel positif).
Argument indéfini en 0. $|0| = 0$ mais $\arg(0)$ n'est pas défini.
Argument modulo $2\pi$ . Toujours préciser l'intervalle : $\theta \in ]-\pi; \pi]$ (argument principal) ou $[0; 2\pi[$ .
Erreur de signe dans la division. Multiplier par le conjugué du dénominateur, pas par le dénominateur.

Q&R pour le tuteur IA

Q : Pourquoi introduire les nombres complexes ? R : (1) Toute équation polynomiale de degré $n$ admet exactement $n$ racines dans $\mathbb{C}$ (théorème fondamental de l'algèbre). (2) Les complexes simplifient des calculs de géométrie (rotations) et permettent de résoudre des problèmes physiques (électricité, mécanique quantique).

Q : Comment trouver le module et l'argument d'un complexe ? R : Module : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Argument : utiliser $\tan\theta = b/a$ avec attention au quadrant (signes de $a$ et $b$ ). Toujours vérifier le quadrant pour ne pas se tromper de $\pi$ .

Q : À quoi sert la forme exponentielle ? R : À multiplier, diviser, élever à une puissance facilement. En forme algébrique, $(1 + i)^{10}$ est pénible. En forme exponentielle : $(1+i) = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$ , donc $(1+i)^{10} = 32 e^{i 10\pi/4} = 32 e^{i\pi/2} = 32i$ .

Q : Comment résoudre $z^n = a$ avec $a$ complexe ? R : Écrire $a$ en forme exponentielle : $a = |a| e^{i\alpha}$ . Les solutions sont $z_k = |a|^{1/n} e^{i(\alpha + 2k\pi)/n}$ pour $k = 0, 1, ..., n-1$ . Toujours $n$ solutions.