Chapitre 3 — Fonctions exponentielle et logarithme

Programme officiel — BO du 25 juillet 2019.

Probabilité 2026 (analyse Innovaweb) : ⭐⭐⭐⭐⭐ — Très élevée. La fonction logarithme apparaît dans 7 sujets sur 8 Métropole 2022-2025. C'est l'exercice d'analyse le plus fréquent au bac maths spé.

Fonction exponentielle

Définition et propriétés fondamentales

La fonction exponentielle, notée $\exp$ ou $x \mapsto e^x$, est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que : $f'(x) = f(x) \quad \text{et} \quad f(0) = 1$

Conséquence immédiate : $\exp'(x) = \exp(x)$ et $\exp(0) = 1$.

Propriétés algébriques (à connaître par cœur)

$e^{a+b} = e^a \cdot e^b$

$e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$

$e^{-a} = \frac{1}{e^a}$

$(e^a)^n = e^{na}$

Propriétés analytiques

• Strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (car $(e^x)' = e^x > 0$).
• Toujours strictement positive : $\forall x \in \mathbb{R}, e^x > 0$.
• Limites : $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ · $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$.
• Tangente en 0 : $y = x + 1$.

Équations et inéquations

$e^a = e^b \Leftrightarrow a = b$ (bijectivité). $e^a < e^b \Leftrightarrow a < b$ (stricte croissance). $e^x = k$ avec $k > 0$ a pour unique solution $x = \ln(k)$. $e^x = 0$ : impossible.

Fonction logarithme népérien

Définition

$\ln$ est la fonction réciproque de $\exp$ sur $]0, +\infty[$ : $y = \ln(x) \Leftrightarrow x = e^y \quad (\text{avec } x > 0)$

Conséquence : $\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, et $e^{\ln(x)} = x$ pour tout $x > 0$.

Propriétés algébriques (à connaître par cœur)

$\ln(1) = 0$

$\ln(e) = 1$

$\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$

$\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$

$\ln(a^n) = n \ln(a)$

$\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a)$

(toutes valides pour $a, b > 0$)

Propriétés analytiques

• Définie sur $]0, +\infty[$ uniquement.
• Dérivée : $\ln'(x) = \frac{1}{x}$.
• Strictement croissante sur $]0, +\infty[$.
• Limites : $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ · $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$.
• Tangente en 1 : $y = x - 1$.

Équations et inéquations

$\ln(a) = \ln(b) \Leftrightarrow a = b$ (avec $a, b > 0$). $\ln(a) < \ln(b) \Leftrightarrow a < b$ (avec $a, b > 0$). $\ln(x) = k$ : unique solution $x = e^k$. $\ln(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Croissances comparées (théorème central)

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 \quad (n \geq 1)$

$\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0 \qquad \lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$

Mnémotechnique : les puissances de $x$ écrasent le logarithme en $+\infty$ ; en $0^+$, le logarithme est "freiné" par les puissances de $x$.

Dérivées composées avec exp et ln

Exemples :

• $f(x) = e^{x^2}$ → $f'(x) = 2x \cdot e^{x^2}$
• $f(x) = \ln(3x + 1)$ → $f'(x) = \frac{3}{3x + 1}$ (sur $]-\frac{1}{3}, +\infty[$)
• $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ → $f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ (sur $\mathbb{R}$)

Exercice-type avec corrigé (fréquence bac : ★★★★★)

Énoncé

Soit $f(x) = x - 2 + \frac{1}{2}\ln(x)$ définie sur $]0, +\infty[$.

1. Déterminer les limites de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$.
2. Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
3. Dresser le tableau de variations de $f$.
4. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0, +\infty[$.
5. Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.

Corrigé

1. En $0^+$ : $x \to 0$, $-2 \to -2$, $\ln(x) \to -\infty$, donc $f(x) \to -\infty$. En $+\infty$ : $x \to +\infty$, $\ln(x) \to +\infty$ mais plus lent, donc $f(x) \to +\infty$ (terme dominant $x$).

2. $f'(x) = 1 + \frac{1}{2x} = \frac{2x + 1}{2x}$. Sur $]0, +\infty[$ : $2x > 0$ et $2x + 1 > 0$, donc $f'(x) > 0$. $f$ est strictement croissante.

3.

4. $f$ est continue (somme de fonctions continues) et strictement croissante sur $]0, +\infty[$. $\lim_{0^+} f = -\infty$ et $\lim_{+\infty} f = +\infty$, donc $0 \in ]-\infty, +\infty[$. Par TVI strictement monotone, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$.

5. Par balayage à la calculatrice : $f(2) \approx 0{,}35 > 0$ et $f(1{,}9) \approx -0{,}07 < 0$. Donc $\alpha \in [1{,}9; 2{,}0]$.

Pièges classiques à éviter

1. Oublier le domaine de $\ln$. $\ln(x)$ n'existe que pour $x > 0$. Pour $\ln(u(x))$, il faut résoudre $u(x) > 0$ pour déterminer le domaine.

2. Confondre $\ln(a + b)$ et $\ln(a) + \ln(b)$. Faux ! $\ln(a + b)$ ne se simplifie pas. C'est $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$.

3. Mauvaise dérivée de $e^{u(x)}$. Toujours multiplier par $u'(x)$. $(e^{x^2})' = 2x \cdot e^{x^2}$, pas juste $e^{x^2}$.

4. Oublier la croissance comparée. Pour des limites de la forme $\frac{\ln(x)}{x^n}$ ou $\frac{e^x}{x^n}$, ne pas dériver — utiliser directement la propriété.

5. Confondre $\ln(-x)$ et $-\ln(x)$. Faux : $\ln(-x)$ n'existe que pour $x < 0$, $-\ln(x)$ existe pour $x > 0$. Ce sont deux choses différentes.

Annales 2022-2025 connectées

• 2023 J1 Ex 2 : Fonction avec $\ln(x)$ — étude complète (limites, dérivée, variations, équation).
• 2024 J1 Ex 4 : $f(x) = x - 2 + \frac{1}{2}\ln(x)$ — étude complète.
• 2024 J2 Ex 4 : Fonction avec $\ln$ — étude complète.
• 2025 J1 Ex 2 : Fonction avec $\ln(x)$ — limites, dérivée, intégrale, sens de variation.
• 2025 J2 Ex 4 : Fonction avec $\ln$ ou exp — étude complète.

Bilan : la fonction logarithme est incontournable (7 apparitions sur 8 sessions). Le format est très stable : étude complète (domaine + limites + dérivée + tableau de variations + intégrale ou tangente). À maîtriser absolument.

Q&R pour le tuteur IA

Q : Comment résoudre $e^x = 5$ ? R : Appliquer $\ln$ aux deux membres : $\ln(e^x) = \ln(5)$, donc $x = \ln(5) \approx 1{,}61$.

Q : Comment dériver $f(x) = \ln(3x^2 + 2)$ ? R : $f$ est de la forme $\ln(u)$ avec $u(x) = 3x^2 + 2 > 0$ sur $\mathbb{R}$. Donc $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{6x}{3x^2 + 2}$.

Q : Quelle est la limite de $\frac{e^x}{x^{100}}$ en $+\infty$ ? R : Par croissance comparée, l'exponentielle gagne sur toute puissance de $x$, donc $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^{100}} = +\infty$.

Q : Quelle est la primitive de $\frac{1}{x}$ ? R : Sur $]0, +\infty[$ : $\ln(x) + C$. Sur $]-\infty, 0[$ : $\ln(-x) + C$ ou $\ln|x| + C$ pour englober les deux cas.