Formulaire complet maths spé bac 2026

Toutes les formules à connaître par cœur le jour du bac. Aucune formule n'est donnée sur le sujet (sauf rares exceptions explicitement précisées).

Suites

Suites arithmétiques

$u_{n+1} = u_n + r \qquad u_n = u_0 + nr \qquad u_n = u_p + (n-p)r$

Somme : $\sum_{k=0}^{n} u_k = (n+1) \cdot \dfrac{u_0 + u_n}{2}$

Suites géométriques

$u_{n+1} = q \cdot u_n \qquad u_n = u_0 \cdot q^n \qquad u_n = u_p \cdot q^{n-p}$

Somme : $\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 \cdot \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ (si $q \neq 1$ )

Limites de $q^n$

$|q| < 1$ : $\lim q^n = 0$
$q = 1$ : $\lim q^n = 1$
$q > 1$ : $\lim q^n = +\infty$
$q \leq -1$ : pas de limite

Limites et croissances comparées

Fonction	$x \to +\infty$	$x \to 0^+$
$\ln(x)$	$+\infty$	$-\infty$
$e^x$	$+\infty$	$1$
$\frac{1}{x}$	$0$	$+\infty$

Croissances comparées : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$

$\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0 \qquad \lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0 \quad (n > 0)$

Dérivées usuelles

$f(x)$	$f'(x)$
$k$	$0$
$x^n$	$n x^{n-1}$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$\ln(x)$	$\frac{1}{x}$
$e^x$	$e^x$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\sin(x)$	$\cos(x)$

Opérations sur les dérivées

$(u + v)' = u' + v' \qquad (uv)' = u'v + uv' \qquad \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$

Dérivées composées

$f(x)$	$f'(x)$
$e^{u(x)}$	$u'(x) e^{u(x)}$
$\ln(u(x))$ (avec $u > 0$ )	$\dfrac{u'(x)}{u(x)}$
$u(x)^n$	$n u'(x) u(x)^{n-1}$
$\sqrt{u(x)}$ (avec $u > 0$ )	$\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$

Exponentielle et logarithme

Propriétés algébriques de $\exp$

$e^{a+b} = e^a e^b \qquad e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b} \qquad e^{-a} = \dfrac{1}{e^a} \qquad (e^a)^n = e^{na}$

$e^0 = 1 \qquad e^x > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$

Propriétés algébriques de $\ln$

$\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \qquad \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$

$\ln(a^n) = n \ln(a) \qquad \ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln(a)$

$\ln(1) = 0 \qquad \ln(e) = 1 \qquad \ln \text{ défini sur } ]0, +\infty[$

Réciprocité $\exp \leftrightarrow \ln$

$\ln(e^x) = x \quad \forall x \in \mathbb{R} \qquad e^{\ln(x)} = x \quad \forall x > 0$

Primitives usuelles

$f(x)$	$F(x)$ (+ C)
$k$	$kx$
$x^n$ ( $n \neq -1$ )	$\frac{x^{n+1}}{n+1}$
$\frac{1}{x}$	$\ln
$\frac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x}$
$e^x$	$e^x$
$e^{ax+b}$	$\frac{1}{a} e^{ax+b}$
$\cos(x)$	$\sin(x)$
$\sin(x)$	$-\cos(x)$

Primitives par identification

$f$	$F$
$u' \cdot u^n$ ( $n \neq -1$ )	$\frac{u^{n+1}}{n+1}$
$\frac{u'}{u}$ ( $u > 0$ )	$\ln(u)$
$u' \cdot e^u$	$e^u$
$\frac{u'}{\sqrt{u}}$ ( $u > 0$ )	$2\sqrt{u}$
$\frac{u'}{u^2}$	$-\frac{1}{u}$

Intégrales

$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$

Propriétés :

$\int_a^a f = 0 \qquad \int_a^b f = -\int_b^a f \qquad \int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f \text{ (Chasles)}$

$\int_a^b (f + g) = \int_a^b f + \int_a^b g \qquad \int_a^b k f = k \int_a^b f$

Valeur moyenne : $\mu = \dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx$

Équations différentielles

$y' = ay$

Solutions : $y(x) = C e^{ax}$ , $C \in \mathbb{R}$ .

$y' = ay + b$ (avec $a \neq 0$ )

Solutions : $y(x) = C e^{ax} - \dfrac{b}{a}$ , $C \in \mathbb{R}$ .

Méthode : solution particulière constante $y_0 = -\dfrac{b}{a}$ + solution homogène $y_h = C e^{ax}$ .

Géométrie dans l'espace

Opérations sur les vecteurs

$\vec{u} + \vec{v} = (x + x'; y + y'; z + z') \qquad \lambda \vec{u} = (\lambda x; \lambda y; \lambda z)$

$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \qquad AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

Produit scalaire

$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz' = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}})$

Orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

Carré scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$

Droites et plans

Droite passant par $A$ , vecteur directeur $\vec{u}(a; b; c)$ : $\begin{cases} x = x_A + ta \\ y = y_A + tb \\ z = z_A + tc \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$

Plan de vecteur normal $\vec{n}(a; b; c)$ passant par $A$ : $a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad ax + by + cz + d = 0$

Distance point-plan : $d(M, P) = \dfrac{|ax_M + by_M + cz_M + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Probabilités

Probabilités conditionnelles

$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \qquad P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B) = P(B) \cdot P_B(A)$

Formule des probabilités totales

Si $\{A_1, ..., A_n\}$ est une partition de $\Omega$ : $P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \cdot P_{A_i}(B)$

Formule de Bayes

$P_B(A) = \dfrac{P(A) \cdot P_A(B)}{P(B)}$

Indépendance

$A$ et $B$ indépendants $\Leftrightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ $\Leftrightarrow P_A(B) = P(B)$

Variables aléatoires

Espérance, variance, écart-type

$E(X) = \sum_i x_i p_i \qquad V(X) = E(X^2) - E(X)^2 \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

Linéarité : $E(aX + b) = aE(X) + b$ · $V(aX + b) = a^2 V(X)$

Loi binomiale

$X \sim \mathcal{B}(n, p)$ :

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k \in \{0, ..., n\}$

$E(X) = np \qquad V(X) = np(1-p) \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$

$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n$

Inégalité de concentration

Pour $M_n = \dfrac{X_1 + ... + X_n}{n}$ (moyenne empirique de variables indépendantes de même loi, espérance $\mu$ , variance $\sigma^2$ ) :

$P(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{\sigma^2}{n \varepsilon^2}$

Algorithmes Python (modèles)

Calcul du n-ième terme d'une suite

def terme(n, u0):
    u = u0
    for k in range(n):
        u = f(u)  # f est la fonction de récurrence
    return u

Seuil pour suite croissante

def seuil(S, u0):
    u = u0
    n = 0
    while u < S:
        u = f(u)
        n = n + 1
    return n

Seuil pour suite décroissante

def seuil(S, u0):
    u = u0
    n = 0
    while u > S:
        u = f(u)
        n = n + 1
    return n