Chapitre 2 — Limites, continuité, dérivation

Q: Comment dériver $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ ?

$f$ est de la forme $\ln(u)$ avec $u(x) = x^2 + 1$. Donc $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{2x}{x^2 + 1}$. Toujours valide car $x^2 + 1 > 0$.

Key takeaway

Programme officiel — BO du 25 juillet 2019.

Probabilité 2026 : ⭐⭐⭐⭐ — Toujours mobilisé en sous-question des exercices d'analyse (fonction ln, exp, intégrales). Jamais sujet principal seul mais omniprésent.

Limites de fonctions

Limites en $+\infty$ et $-\infty$

Notation : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ signifie que $f(x)$ s'approche de $\ell$ aussi près qu'on veut quand $x$ devient très grand.

Limites de référence à connaître par cœur :

Fonction	$x \to +\infty$	$x \to 0^+$
$\ln(x)$	$+\infty$	$-\infty$
$e^x$	$+\infty$	$1$
$\frac{1}{x}$	$0$	$+\infty$
$x^n$ ( $n \geq 1$ )	$+\infty$	$0$

Croissances comparées (théorème central) :

\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} x^n \cdot e^x = 0

Mnémotechnique : exp gagne sur les puissances, qui gagnent sur le ln.

Opérations sur les limites

Somme, produit, quotient : limites classiques en suivant les tableaux, avec attention aux formes indéterminées :

$\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{0}{0}$ , $1^{\infty}$ .

Méthodes pour lever une FI :

Factoriser par le terme dominant : $\lim_{x \to +\infty} 3x^2 - x = \lim x^2(3 - 1/x) = +\infty$ .
Multiplier par le conjugué (pour $\sqrt{} - \sqrt{}$ ).
Utiliser les croissances comparées.

Continuité

Définition

$f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ . $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$ .

Théorème : toutes les fonctions usuelles (polynomiales, rationnelles, exponentielle, logarithme, racine carrée) sont continues sur leur ensemble de définition.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Énoncé : si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , alors il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$ .

Corollaire (TVI strictement monotone) : si en plus $f$ est strictement monotone sur $[a, b]$ , alors $c$ est unique.

Usage typique : montrer qu'une équation $f(x) = k$ admet une unique solution sur un intervalle, en combinant TVI + monotonie stricte.

Dérivation

Dérivées usuelles à connaître par cœur

$f(x)$	$f'(x)$
$k$ (constante)	$0$
$x^n$	$n x^{n-1}$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$\ln(x)$	$\frac{1}{x}$
$e^x$	$e^x$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\sin(x)$	$\cos(x)$

Opérations sur les dérivées

(u + v)' = u' + v'

(k \cdot u)' = k \cdot u'

(uv)' = u'v + uv'

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v \neq 0)

(u \circ v)'(x) = v'(x) \cdot u'(v(x))

Dérivées des fonctions composées (essentiel)

$f(x)$	$f'(x)$
$e^{u(x)}$	$u'(x) \cdot e^{u(x)}$
$\ln(u(x))$	$\frac{u'(x)}{u(x)}$ ( $u > 0$ )
$u(x)^n$	$n \cdot u'(x) \cdot u(x)^{n-1}$
$\sqrt{u(x)}$	$\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ ( $u > 0$ )

Étude complète d'une fonction (méthode standard)

Plan systématique en 6 étapes :

Ensemble de définition $D_f$ .
Limites aux bornes de $D_f$ .
Dérivée $f'(x)$ calculée et factorisée.
Signe de $f'$ (tableau de signes).
Tableau de variations avec valeurs aux bornes.
Conclusion : extrema, équation tangente en un point, asymptotes (horizontales/verticales), allure de la courbe.

Tangente en un point

L'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ est :

y = f'(a)(x - a) + f(a)

Exercice-type avec corrigé

Énoncé

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 5$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Calculer $f'(x)$ et déterminer le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ .
Donner l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$ .

Corrigé

1. $f'(x) = 2x - 4$ . $f'(x) > 0 \Leftrightarrow x > 2$ .

$x$	$-\infty$	$2$	$+\infty$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$+\infty \searrow$	$1$	$\nearrow +\infty$

3. $f(1) = 1 - 4 + 5 = 2$ . $f'(1) = 2 - 4 = -2$ . Tangente : $y = -2(x - 1) + 2 = -2x + 4$ .

Pièges classiques à éviter

Oublier le domaine de définition. Une étude de fonction sans préciser $D_f$ est incomplète. Pour $\ln$ : $D_f = ]0, +\infty[$ . Pour racine carrée : argument $\geq 0$ .
Confondre dérivée et tangente. $f'(a)$ est un nombre (la pente), pas une fonction. La tangente est une droite.
Mal factoriser $f'(x)$ pour étudier son signe. Toujours factoriser au maximum avant d'étudier le signe (souvent en passant par les racines via le discriminant ou en repérant $e^x > 0$ ).
Oublier les croissances comparées. Pour des limites du type $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x}$ , ne pas chercher à dériver, appliquer directement la croissance comparée.
Confondre les TVI. Le TVI seul donne l'existence. Le TVI strictement monotone donne l'unicité. Pour résoudre $f(x) = k$ a une unique solution : il faut les deux conditions.

Annales 2022-2025 connectées

Toujours en sous-question des exercices de fonction (ln, exp), notamment :

Limites en bornes du domaine
Calcul de dérivée et tableau de variations
Application du TVI (souvent strictement monotone) pour montrer l'unicité d'une solution

Q&R pour le tuteur IA

Q : Comment lever une forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ ? R : Factoriser numérateur et dénominateur par le terme dominant (souvent la plus haute puissance de $x$ ou $e^x$ ), puis simplifier. Si nécessaire, appliquer les croissances comparées.

Q : Quand utiliser le TVI ? R : Pour montrer qu'une équation $f(x) = k$ admet au moins une solution sur un intervalle où $f$ est continue. Pour montrer unicité, ajouter "f est strictement monotone sur cet intervalle".

Q : Comment dériver $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ ? R : $f$ est de la forme $\ln(u)$ avec $u(x) = x^2 + 1$ . Donc $f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{2x}{x^2 + 1}$ . Toujours valide car $x^2 + 1 > 0$ .