Chapitre 1 — Suites numériques

Méthodes de raisonnement par récurrence

Principe : pour démontrer qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ :

1. Initialisation : vérifier $P(n_0)$.
2. Hérédité : supposer $P(k)$ vraie pour un $k \geq n_0$ quelconque, et prouver $P(k+1)$.
3. Conclusion : par récurrence, $P(n)$ vraie pour tout $n \geq n_0$.

Modèle de rédaction :

Key takeaway

Démontrons par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq 3$.

Initialisation : $u_0 = 1 \leq 3$. Vrai.

Hérédité : supposons $u_k \leq 3$ pour un certain $k \in \mathbb{N}$. Alors $u_{k+1} = \frac{u_k + 4}{2} \leq \frac{3 + 4}{2} = 3{,}5$... [adapter au cas]

Conclusion : par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq 3$.

Algorithme Python associé

Modèle de boucle pour seuil (extrêmement fréquent au bac) :

def seuil(u0, S):
    """Retourne le plus petit n tel que u_n >= S (suite croissante)."""
    u = u0
    n = 0
    while u < S:
        u = f(u)

# f est la fonction de récurrence
        n = n + 1
    return n

Modèle pour calculer u_n :

def terme(n, u0):
    """Retourne u_n pour la suite u_{n+1} = 0.8 * u_n + 5, u_0 donné."""
    u = u0
    for k in range(n):
        u = 0.8 * u + 5
    return u

Exercice-type avec corrigé

Énoncé

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = 0{,}5 \cdot u_n + 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$.
2. Démontrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq 4$.
3. Montrer que $(u_n)$ est croissante.
4. En déduire que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

Corrigé

1. $u_1 = 0{,}5 \cdot 0 + 2 = 2$ · $u_2 = 0{,}5 \cdot 2 + 2 = 3$ · $u_3 = 0{,}5 \cdot 3 + 2 = 3{,}5$.

2. Initialisation : $u_0 = 0 \leq 4$. Vrai. Hérédité : supposons $u_k \leq 4$. Alors $u_{k+1} = 0{,}5 u_k + 2 \leq 0{,}5 \cdot 4 + 2 = 4$. Donc $u_{k+1} \leq 4$. Conclusion : $\forall n, u_n \leq 4$.

3. $u_{n+1} - u_n = 0{,}5 u_n + 2 - u_n = -0{,}5 u_n + 2 = 0{,}5(4 - u_n) \geq 0$ d'après 2). Donc $(u_n)$ est croissante.

4. $(u_n)$ est croissante et majorée par 4, donc converge vers une limite $\ell \leq 4$. $\ell$ est solution de l'équation $\ell = 0{,}5 \ell + 2$, soit $0{,}5 \ell = 2$, donc $\ell = 4$.

Pièges classiques à éviter

1. Oublier l'initialisation de la récurrence. Une démonstration sans initialisation est fausse, même si l'hérédité est parfaite. C'est l'erreur n°1.

2. Confondre "majorée" et "convergente". Une suite peut être majorée sans converger (ex. $u_n = (-1)^n$ majorée par 1 mais ne converge pas).

3. Affirmer la limite sans justifier l'existence. Pour utiliser $\ell = f(\ell)$, il faut d'abord montrer que $(u_n)$ converge (via théorème monotone bornée), puis que $f$ est continue en $\ell$. Sans cela, le raisonnement est circulaire.

4. Confondre limite d'une suite et limite d'une fonction. Si $u_n = f(n)$ avec $f$ définie sur $\mathbb{R}$, alors $\lim u_n = \lim_{x \to +\infty} f(x)$. Mais l'inverse n'est pas vrai.

5. Erreurs dans Python. Ne pas confondre while u < S (continue tant que $u < S$) et while u <= S. Bien initialiser le compteur $n$ avant la boucle.

Annales 2022-2025 connectées

• 2022 J1 Ex 1 : Suites + exponentielle (modèle médicament).
• 2023 J1 Ex 3 : Suite + Python (FAQ entreprise).
• 2023 J2 Ex 2 : Suite (modèle population insectes).
• 2024 J1 Ex 1 : Équation différentielle + suite convergente.
• 2025 J1 Ex 4 : Suite + algorithme Python (algue marine).

Bilan : 5 apparitions principales sur 4 sessions = chapitre incontournable. Format quasi systématique : suite récurrente + récurrence + monotonie + convergence + Python pour calculer un seuil.

Q&R pour le tuteur IA

Q : Comment montrer qu'une suite est convergente sans connaître sa limite ? R : Le théorème de convergence monotone est l'outil principal : si la suite est croissante et majorée (ou décroissante et minorée), elle converge. À utiliser quand on n'a pas d'expression explicite de $u_n$.

Q : Comment trouver la limite d'une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ ? R : Une fois la convergence établie et si $f$ est continue, la limite $\ell$ vérifie $\ell = f(\ell)$ (équation des points fixes). Résoudre cette équation donne les candidats possibles ; choisir celui qui est cohérent avec l'intervalle d'étude.

Q : Quelle est la différence entre une suite arithmétique et une suite géométrique ? R : Arithmétique : $u_{n+1} - u_n = r$ (différence constante). Géométrique : $\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$ (rapport constant). Pour la formule explicite : arithmétique $u_n = u_0 + nr$ ; géométrique $u_n = u_0 \cdot q^n$.