Mécanique : lois de Newton et énergie

Programme officiel — BO du 25 juillet 2019.

Probabilité 2026 : ★★★★★ — Mécanique tombe dans 8 sessions sur 8 Métropole 2022-2025. Quasi systématiquement en Exercice 1.

Cinématique : décrire le mouvement

Vecteurs position, vitesse, accélération

Position : $\vec{OM}(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k}$.

Vitesse : $\vec{v}(t) = \dfrac{d\vec{OM}}{dt}$.

Accélération : $\vec{a}(t) = \dfrac{d\vec{v}}{dt} = \dfrac{d^2\vec{OM}}{dt^2}$.

Mouvements particuliers

• MRU (mouvement rectiligne uniforme) : $\vec{a} = \vec{0}$, $\vec{v}$ = constante.
• MRUA (uniformément accéléré) : $\vec{a}$ = constante. $v(t) = v_0 + at$ et $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$.
• Circulaire uniforme : $\vec{a}$ centripète, $a = \dfrac{v^2}{r}$.

Lois de Newton

1re loi (principe d'inertie)

Dans un référentiel galiléen, si la somme des forces extérieures est nulle, alors le mouvement est rectiligne uniforme (ou repos).

$\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0} \iff \vec{v} = \text{constant}$

2e loi (principe fondamental de la dynamique, PFD)

$\sum \vec{F}_{ext} = m\vec{a}$

Application : trouver les caractéristiques du mouvement à partir des forces, ou réciproquement.

3e loi (actions réciproques)

Si A exerce une force $\vec{F}_{A \to B}$ sur B, alors B exerce $\vec{F}_{B \to A} = -\vec{F}_{A \to B}$ sur A.

Forces classiques

Poids

$\vec{P} = m\vec{g}$

$g = 9{,}81$ N/kg sur Terre. Direction : vers le centre de la Terre (verticale).

Frottements

• Solides : opposés au mouvement, magnitude proportionnelle à la réaction normale.
• Fluides (viscosité) : opposés à la vitesse, proportionnels à $v$ (faible vitesse) ou $v^2$ (haute vitesse).

Réaction du support

Composante normale $\vec{N}$ + composante tangentielle (frottement).

Énergie

Énergie cinétique

$E_c = \frac{1}{2}mv^2$

Toujours positive, dépend du référentiel.

Énergie potentielle de pesanteur

$E_{pp} = mgh$

Origine $h = 0$ choisie arbitrairement (souvent au sol).

Énergie potentielle élastique (ressort)

$E_{pe} = \frac{1}{2}k(x - x_0)^2$

$k$ : constante de raideur. $x_0$ : position d'équilibre.

Énergie mécanique

$E_m = E_c + E_p$

Conservation : $E_m$ = constante si seules les forces conservatives agissent (poids, ressort).

Non-conservation : frottements (énergie dissipée en chaleur).

Théorème de l'énergie cinétique

$\Delta E_c = \sum W(\vec{F}_{ext})$

Le travail d'une force $\vec{F}$ sur un déplacement $\vec{d}$ : $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$.

Oscillateur harmonique

Modèle masse-ressort

$m\ddot{x} + kx = 0$

Solution : $x(t) = X_m \cos(\omega_0 t + \varphi)$ avec $\omega_0 = \sqrt{k/m}$.

Période : $T_0 = \dfrac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$.

Pendule simple (petites oscillations)

$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{\ell}{g}}$

$\ell$ : longueur du pendule.

Régime amorti

Avec frottement : amplitude décroissante. 3 régimes : pseudo-périodique, critique, apériodique.

Mouvements dans des champs

Mouvement parabolique d'un projectile

Sous l'effet du poids seul (négligeons les frottements de l'air).

$\vec{a} = \vec{g}$. Mouvement horizontal uniforme + vertical uniformément accéléré.

Équation de la trajectoire : $y(x) = -\dfrac{g}{2v_0^2 \cos^2\alpha} x^2 + x \tan\alpha + y_0$ (parabole).

Champ électrique

Force sur une charge : $\vec{F} = q\vec{E}$.

Application : déviation de particules chargées dans un condensateur plan (cathode-rayon, écran TV, accélérateur).

Champ magnétique

Force de Lorentz : $\vec{F} = q\vec{v} \wedge \vec{B}$.

Toujours perpendiculaire à $\vec{v}$ → trajectoire circulaire ou hélicoïdale.

Méthode pour un exercice de mécanique

1. Système : préciser quel objet on étudie.
2. Référentiel : galiléen, terrestre ou autre.
3. Bilan des forces : lister + dessiner sur un schéma.
4. Application du PFD : $\sum \vec{F} = m\vec{a}$.
5. Projection sur les axes : équations différentielles.
6. Résolution : intégration, conditions initiales.
7. Application numérique : avec unités et chiffres significatifs.
8. Analyse : ordre de grandeur cohérent ? Hypothèses raisonnables ?

Exercice-type

Énoncé : Une bille de masse $m = 50$ g est lancée verticalement vers le haut depuis le sol avec une vitesse initiale $v_0 = 10$ m/s. On néglige les frottements de l'air. $g = 9{,}81$ m/s².

1. Déterminer la hauteur maximale atteinte par la bille.
2. Calculer la vitesse de la bille à $h = 4$ m du sol.
3. Vérifier la conservation de l'énergie mécanique.

Corrigé :

1. Au sommet : $v = 0$. Conservation de $E_m$ entre départ et sommet : $\frac{1}{2}mv_0^2 = mgh_{max}$, donc $h_{max} = \dfrac{v_0^2}{2g} = \dfrac{100}{19,62} \approx 5{,}10$ m.

2. À $h = 4$ m : $\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$. Donc $v^2 = v_0^2 - 2gh = 100 - 78{,}5 = 21{,}5$, soit $v \approx 4{,}64$ m/s.

3. Au départ : $E_m = \frac{1}{2} \cdot 0{,}05 \cdot 100 = 2{,}5$ J. À $h = 4$ m : $E_c = \frac{1}{2} \cdot 0{,}05 \cdot 21{,}5 = 0{,}54$ J. $E_{pp} = 0{,}05 \cdot 9{,}81 \cdot 4 = 1{,}96$ J. Somme : 2,5 J. ✓

Pièges à éviter

1. Oublier le système et le référentiel. Toujours préciser.
2. Confondre poids et masse. Masse = quantité de matière (kg). Poids = force exercée par la gravité (N).
3. Mauvais sens des forces dans le schéma.
4. Oublier les unités lors des applications numériques.
5. Mauvais chiffres significatifs. 2 ou 3 selon les données.

Données chiffrées

• $g = 9{,}81$ m/s² (Terre, au niveau du sol).
• $g_{Lune} = 1{,}62$ m/s².
• Vitesse de libération Terre : 11,2 km/s.
• $c = 3 \times 10^8$ m/s (vitesse lumière dans le vide).
• $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N·m²/kg² (constante de gravitation).