Maths — Nombres et calculs (calcul littéral, équations, arithmétique)

Épreuve — Mathématiques, mardi 30 juin 2026, 2 h, coefficient 2. L'épreuve commence par 20 min d'automatismes sans calculatrice (6 points), puis 1 h 40 de résolution de problèmes (14 points). Ce chapitre nourrit surtout les automatismes et les premières questions des problèmes.

Probabilité 2026 : ⭐⭐⭐⭐⭐ — calcul littéral, équations, fractions, puissances et arithmétique tombent chaque année, sous forme d'exercices dédiés et de questions glissées partout. C'est la base la plus rentable du programme.

Fractions et calcul (sans calculatrice)

Les automatismes testent ta vitesse de calcul à la main. À maîtriser par cœur :

Opérations sur les fractions

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d} \qquad \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$

$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \quad \text{(diviser = multiplier par l'inverse)}$

Toujours simplifier le résultat. Exemple : $\dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$ (on divise haut et bas par 6).

Priorités opératoires

1. Les parenthèses d'abord.
2. Les puissances.
3. Les multiplications et divisions (de gauche à droite).
4. Les additions et soustractions (de gauche à droite).

Piège classique : $2 + 3 \times 4 = 2 + 12 = 14$ (et non $5 \times 4 = 20$). La multiplication passe avant l'addition.

Les puissances

$a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}} \qquad a^0 = 1 \quad (a \neq 0) \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Règles de calcul :

$a^m \times a^n = a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a^m)^n = a^{m \times n}$

Puissances de 10 et notation scientifique

Un nombre en notation scientifique s'écrit $a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$.

Exemple : $45\,000 = 4{,}5 \times 10^4$ et $0{,}0032 = 3{,}2 \times 10^{-3}$.

Utilité : la notation scientifique tombe souvent dans les exercices de physique-chimie (distances astronomiques, tailles d'atomes) et dans les automatismes.

Le calcul littéral

C'est le chapitre charnière de la 3e. Manipuler des expressions avec des lettres.

Développer (enlever les parenthèses)

Simple distributivité : $k(a + b) = ka + kb$

Double distributivité : $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Les identités remarquables (à connaître par cœur)

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Exemple de développement : $(x + 3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.

Factoriser (mettre en facteur)

C'est l'opération inverse du développement : transformer une somme en produit.

Facteur commun : $6x + 9 = 3(2x + 3)$ (on sort le 3).

Avec identité remarquable : $x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x - 5)(x + 5)$.

Piège fréquent : confondre développer et factoriser. Développer = on enlève les parenthèses (produit → somme). Factoriser = on fait apparaître des parenthèses (somme → produit). Lis bien la consigne.

Les équations

Équation du premier degré

Une équation comme $3x + 5 = 14$ se résout en isolant $x$ : $3x + 5 = 14 \implies 3x = 14 - 5 = 9 \implies x = \frac{9}{3} = 3$

Règle : ce qu'on fait d'un côté du « = », on le fait de l'autre (on retire 5 des deux côtés, on divise par 3 des deux côtés).

Équation produit nul

C'est un grand classique du brevet, lié à la factorisation :

$A \times B = 0 \iff A = 0 \quad \text{ou} \quad B = 0$

Exemple : $(x - 2)(x + 5) = 0$ donne $x - 2 = 0$ ou $x + 5 = 0$, donc $x = 2$ ou $x = -5$. Deux solutions.

Pourquoi c'est utile : un problème demande souvent de factoriser une expression, puis de résoudre l'équation produit nul correspondante. Les deux compétences s'enchaînent.

Arithmétique

Diviseurs et nombres premiers

• Un diviseur de $n$ divise $n$ sans reste. Ex : les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12.
• Un nombre premier n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Ex : 2, 3, 5, 7, 11, 13…

PGCD (plus grand commun diviseur)

Le PGCD de deux nombres est le plus grand entier qui les divise tous les deux.

Algorithme d'Euclide (au programme) : on remplace $(a, b)$ par $(b, \text{reste de } a \div b)$ jusqu'à reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD.

Exemple : PGCD(60, 36). $60 = 1 \times 36 + 24$ ; $36 = 1 \times 24 + 12$ ; $24 = 2 \times 12 + 0$. Le PGCD est 12.

Fraction irréductible

Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur ont pour PGCD 1. Pour rendre irréductible : diviser haut et bas par leur PGCD.

Exemple : $\dfrac{60}{36}$, PGCD = 12, donc $\dfrac{60}{36} = \dfrac{5}{3}$.

Application type au brevet : « Une coopérative veut faire des paniers identiques avec 60 pommes et 36 poires, sans reste. Combien de paniers au maximum, et que contient chacun ? » → réponse = PGCD(60, 36) = 12 paniers, chacun avec 5 pommes et 3 poires.

Exercice-type avec corrigé (format brevet)

Énoncé

On donne l'expression $E = (x - 4)^2 - 9$.

1. Développer et réduire $E$.
2. Factoriser $E$.
3. Résoudre l'équation $(x - 4)^2 - 9 = 0$.

Corrigé

1. $E = (x-4)^2 - 9 = x^2 - 8x + 16 - 9 = x^2 - 8x + 7$.

2. On reconnaît $a^2 - b^2$ avec $a = (x-4)$ et $b = 3$ : $E = (x-4)^2 - 3^2 = \big[(x-4) - 3\big]\big[(x-4) + 3\big] = (x - 7)(x - 1)$

3. L'équation devient $(x - 7)(x - 1) = 0$ (équation produit nul) : $x - 7 = 0 \ \text{ou} \ x - 1 = 0 \implies x = 7 \ \text{ou} \ x = 1$ Les solutions sont 7 et 1.

Pièges classiques à éviter

1. Oublier le double produit dans une identité : $(x+3)^2 \neq x^2 + 9$. Il manque $2 \times x \times 3 = 6x$.
2. Erreur de signe avec $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ (le terme du milieu est négatif).
3. Distribuer le carré sur une somme : $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$. Toujours développer.
4. Mal isoler $x$ dans une équation (oublier de faire l'opération des deux côtés).
5. Ne pas simplifier une fraction quand le résultat le permet (perte de points faciles).

Q&R pour le tuteur IA

Q : Quelle est la différence entre développer et factoriser ? R : Développer transforme un produit en somme (on enlève les parenthèses) : $(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$. Factoriser transforme une somme en produit (on fait apparaître des parenthèses) : $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$. Au brevet, on factorise souvent pour ensuite résoudre une équation produit nul.

Q : Comment résoudre une équation produit nul ? R : Utilise la règle « un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul ». Pour $(x-a)(x-b)=0$, tu écris $x - a = 0$ ou $x - b = 0$, ce qui donne $x = a$ ou $x = b$. Il y a en général deux solutions.

Q : À quoi sert le PGCD concrètement ? R : À répartir en groupes identiques sans reste et en faisant le plus grand groupe possible. Dès qu'un problème parle de « partager équitablement », « le plus de paquets identiques », « sans qu'il en reste », pense au PGCD. Tu le calcules avec l'algorithme d'Euclide.

Q : Comment reconnaître quelle identité remarquable utiliser pour factoriser ? R : Regarde la forme. Si tu vois une différence de deux carrés ($a^2 - b^2$, par exemple $x^2 - 16$), utilise $(a-b)(a+b)$. Si tu vois trois termes avec un carré au début, un carré à la fin et un double produit au milieu ($x^2 + 6x + 9$), c'est $(a+b)^2$ ou $(a-b)^2$.