Chapitre 4 — Corrélation et causalité

Programme officiel — Maths complémentaires, thème "Corrélation et causalité".

Mobilise : statistiques descriptives, ajustement linéaire, esprit critique en science des données.

Cadrage

Ce thème enseigne à distinguer :

Une corrélation (deux variables évoluent ensemble) — relation statistique.
Une causalité (l'une cause l'autre) — relation mécanique ou explicative.

Une corrélation n'implique pas une causalité. C'est l'enseignement central du thème.

Corrélation statistique

Nuage de points et droite d'ajustement

Pour deux séries statistiques $(x_i)$ et $(y_i)$ liées (chaque individu a un couple $(x_i, y_i)$ ), on trace un nuage de points dans un repère.

Ajustement linéaire : on cherche la droite $y = ax + b$ qui "passe au mieux" par le nuage (méthode des moindres carrés).

Coefficient de corrélation linéaire

Le coefficient $r$ (ou $\rho$ ) mesure la "linéarité" du lien : $r \in [-1, 1]$

$r = 1$ : alignement parfait positif (quand $x$ augmente, $y$ augmente proportionnellement).
$r = -1$ : alignement parfait négatif.
$r = 0$ : aucune corrélation linéaire (mais peut y avoir une autre forme de lien).
$|r| > 0{,}8$ : corrélation forte.
$|r| \in [0{,}5; 0{,}8]$ : corrélation moyenne.
$|r| < 0{,}5$ : corrélation faible.

Calcul (à la calculatrice généralement) : $r = \dfrac{\text{cov}(X, Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y}$

Coefficient de détermination $R^2$

$R^2 = r^2$ mesure la part de la variance de $Y$ expliquée par $X$ via l'ajustement linéaire.

$R^2 = 0{,}81$ → 81 % de la variation de $Y$ est expliquée linéairement par $X$ .
Plus $R^2$ est proche de 1, meilleur est l'ajustement.

Causalité

Définition (critères de Bradford Hill, 1965)

Une causalité entre $X$ et $Y$ suppose :

Antériorité : $X$ précède temporellement $Y$ .
Plausibilité biologique/mécanique : un mécanisme explique le lien.
Reproductibilité : observée dans plusieurs études indépendantes.
Spécificité : un effet précis et identifiable.
Gradient dose-réponse : plus de $X$ → plus de $Y$ .

Variables confondantes

Une variable confondante $Z$ est une variable qui influence simultanément $X$ et $Y$ , créant une corrélation apparente entre $X$ et $Y$ sans qu'il y ait causalité.

Exemple : ventes de glaces et noyades sont fortement corrélées en été. Mais l'une ne cause pas l'autre — la variable confondante est la température.

Exemples classiques

Cigogne et naissances

Donnée : corrélation positive entre nombre de cigognes par village et nombre de naissances.

Conclusion erronée : les cigognes apportent les bébés.

Variable confondante : les villages ruraux ont à la fois plus de cigognes (nature) et plus de naissances (familles plus nombreuses).

Crème glacée et noyades

Donnée : corrélation $r \approx 0{,}9$ entre consommation de glaces et noyades.

Variable confondante : la saison estivale (chaleur).

Salaire et santé

Donnée : corrélation positive entre salaire et longévité.

Variables confondantes : accès aux soins, alimentation, environnement de travail moins pénible. La causalité est complexe, multifactorielle.

Test statistique

Test de significativité

Question : avec $n$ observations, un coefficient $r$ observé est-il significativement différent de 0 (= il y a vraiment corrélation, pas du hasard) ?

Seuil empirique (au programme) : si $|r| > \dfrac{2}{\sqrt{n}}$ , alors la corrélation est significative au seuil de 5 %.

Exemple : avec $n = 100$ couples, le seuil est $2/10 = 0{,}2$ . Toute corrélation $|r| > 0{,}2$ est significative ; toute corrélation $|r| < 0{,}2$ est compatible avec le hasard.

Méthode pour analyser une corrélation

Tracer le nuage : avant tout calcul, vérifier visuellement s'il y a une tendance linéaire.
Calculer $r$ et $R^2$ (à la calculatrice).
Vérifier la significativité : $|r| > 2/\sqrt{n}$ ?
Si oui, chercher la causalité :
- Est-ce que $X$ pourrait causer $Y$ ? (sens 1)
- Est-ce que $Y$ pourrait causer $X$ ? (sens 2)
- Existe-t-il une variable confondante $Z$ ?
- Est-ce simplement du hasard malgré la significativité ?

Exercice-type

Énoncé : Une étude sur 50 villes mesure le nombre de pizzerias par habitant ( $X$ ) et le taux d'obésité ( $Y$ ). On trouve $r = 0{,}48$ .

La corrélation est-elle significative au seuil 5 % ?
Peut-on conclure que manger de la pizza cause l'obésité ?
Quelles variables confondantes proposeriez-vous ?

Corrigé :

Seuil : $2/\sqrt{50} = 2/7{,}07 \approx 0{,}283$ . Or $|0{,}48| > 0{,}283$ . Oui, la corrélation est significative.
Non. Une corrélation, même significative, n'implique pas une causalité. D'autres explications possibles : la pizza n'est qu'un marqueur d'un mode de vie, ou un comportement de consommation lié à un revenu particulier.
Variables confondantes possibles :
- Niveau de vie : zones où il y a plus de pizzerias sont aussi des zones où il y a d'autres facteurs liés à l'obésité (sédentarité urbaine, accès limité à des aliments frais).
- Densité urbaine : zones denses = plus de restaurants ET plus de sédentarité.
- Âge moyen de la population.

Pièges à éviter

Corrélation ⇒ causalité. Le piège n°1, et c'est l'enseignement central du thème. Toujours chercher l'alternative (variable confondante, hasard, inversion de la cause).
Tester $r$ sans regarder le nuage. Un $r$ proche de 0 peut masquer une relation non-linéaire (par exemple parabolique). Toujours tracer.
Confondre corrélation forte et causalité prouvée. Même $r = 0{,}99$ n'est pas une preuve de causalité, juste une preuve de relation linéaire.
Ignorer la taille de l'échantillon. Avec 5 individus, un $r = 0{,}7$ est facilement du hasard ; avec 1 000, un $r = 0{,}1$ peut être significatif mais minuscule en pratique.

Q&R pour le tuteur IA

Q : Comment détecter une variable confondante ? R : (1) Lister les facteurs qui pourraient influencer les deux variables. (2) Si possible, stratifier : refaire l'analyse en contrôlant cette variable (par exemple : analyser uniquement en hiver pour éliminer la saison). (3) Faire une analyse multivariée (au-delà du programme terminale, mais important conceptuellement).

Q : Pourquoi $R^2 = r^2$ ? R : $R^2$ mesure le carré de la "linéarité". Il vaut 1 quand l'ajustement linéaire est parfait, 0 quand le nuage est totalement dispersé. Mathématiquement, $R^2$ est la fraction de variance expliquée par la régression linéaire.

Q : Une corrélation négative est-elle "moins forte" qu'une corrélation positive ? R : Non. Le signe indique le sens de la relation (positif : varient ensemble, négatif : varient à l'inverse). La force dépend de $|r|$ , pas du signe. $r = -0{,}9$ est aussi forte qu' $r = 0{,}9$ .

Q : Existe-t-il un cas où corrélation = causalité ? R : Oui, mais cela nécessite des expériences randomisées contrôlées (essais cliniques en médecine, A/B tests en marketing). En observation pure (sans intervention), on ne peut jamais prouver la causalité — on peut seulement l'écarter (si la corrélation est nulle) ou la rendre plausible.