Chapitre 3 — Inférence bayésienne, échantillonnage, temps d'attente

Programme officiel — Maths complémentaires, thèmes : "Inférence bayésienne", "Répétition d'expériences indépendantes et échantillonnage", "Temps d'attente".

Inférence bayésienne

Rappel — Formule de Bayes

Pour deux événements $A$ et $B$ avec $P(A) > 0$ et $P(B) > 0$ : $P_B(A) = \dfrac{P(A) \cdot P_A(B)}{P(B)}$

Vocabulaire bayésien :

• $P(A)$ : probabilité a priori (avant d'observer $B$).
• $P_B(A)$ : probabilité a posteriori (après avoir observé $B$).
• $P_A(B)$ : vraisemblance ($B$ sachant $A$).
• $P(B)$ : évidence (probabilité d'observer $B$, calculée par probabilités totales).

Exemple classique : test médical

Une maladie touche 1 % d'une population. Un test détecte la maladie avec sensibilité 95 % (vrai positif si malade) et spécificité 90 % (vrai négatif si non malade).

Quelle est la probabilité d'être réellement malade sachant qu'on a un test positif ?

Notations : $M$ = "malade", $T$ = "test positif".

• $P(M) = 0{,}01$ (a priori).
• $P_M(T) = 0{,}95$ (sensibilité).
• $P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}90$, donc $P_{\overline{M}}(T) = 0{,}10$ (faux positifs).

Calcul de $P(T)$ par probabilités totales : $P(T) = P(M) \cdot P_M(T) + P(\overline{M}) \cdot P_{\overline{M}}(T) = 0{,}01 \cdot 0{,}95 + 0{,}99 \cdot 0{,}10 = 0{,}1085$

Calcul de $P_T(M)$ par Bayes : $P_T(M) = \dfrac{P(M) \cdot P_M(T)}{P(T)} = \dfrac{0{,}01 \cdot 0{,}95}{0{,}1085} \approx 0{,}088 = 8{,}8\%$

Conclusion contre-intuitive : malgré un test positif, la probabilité d'être malade est seulement 8,8 %. La prévalence faible (1 %) écrase la sensibilité du test.

Mise à jour bayésienne

Si on refait un second test indépendant et qu'il est positif aussi :

• Nouvelle a priori : $P(M) = 0{,}088$ (la précédente a posteriori).
• Nouveau Bayes : $P(M | T_1 T_2) \approx \dfrac{0{,}088 \cdot 0{,}95}{0{,}088 \cdot 0{,}95 + 0{,}912 \cdot 0{,}10} \approx 47 \%$.

La probabilité a posteriori se met à jour à chaque nouvelle observation. C'est le principe central de l'inférence bayésienne.

Échantillonnage et loi binomiale

Schéma de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli : expérience à deux issues, succès (proba $p$) ou échec ($1-p$).

Un schéma de Bernoulli : répétition de $n$ épreuves indépendantes et identiques.

Loi binomiale

$X$ = nombre de succès dans le schéma. Alors $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ : $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

$E(X) = np \qquad V(X) = np(1-p)$

Intervalle de fluctuation à 95 %

Pour $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ avec $n$ grand ($n \geq 30$, $np \geq 5$, $n(1-p) \geq 5$), la fréquence empirique $F = X/n$ vérifie : $P\left(F \in \left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}}; p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\right) \geq 0{,}95$

Usage : tester si une fréquence observée est compatible avec une proportion théorique.

Exemple : un fabricant annonce 10 % de pièces défectueuses. Sur un lot de 400 pièces, on en compte 50 défectueuses. Compatible avec l'annonce ?

• $p = 0{,}10$, $n = 400$. Intervalle : $[0{,}10 - 0{,}05; 0{,}10 + 0{,}05] = [0{,}05; 0{,}15]$.
• Fréquence observée : $50/400 = 0{,}125 \in [0{,}05; 0{,}15]$. Compatible avec l'annonce du fabricant.

Temps d'attente — loi exponentielle

Définition

Une variable aléatoire $T$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda > 0$ si sa densité est : $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}, \quad t \geq 0$

Fonction de répartition : $P(T \leq t) = 1 - e^{-\lambda t}$

Espérance

$E(T) = \dfrac{1}{\lambda}$

C'est le temps moyen d'attente.

Propriété d'absence de mémoire

$P(T > s + t \mid T > s) = P(T > t)$

Interprétation : si on a déjà attendu $s$ minutes, la probabilité d'attendre encore $t$ minutes ne dépend pas de $s$. C'est la spécificité de la loi exponentielle.

Applications

• File d'attente (entre deux clients dans un supermarché, deux appels dans un centre d'appels).
• Désintégration radioactive (temps avant désintégration d'un atome).
• Fiabilité (durée de vie sans panne d'un composant).

Exemple

Le temps d'attente entre deux clients dans une boutique suit une loi exponentielle d'espérance 5 minutes.

• $\lambda = 1/5 = 0{,}2$.
• $P(T \leq 3) = 1 - e^{-0{,}2 \cdot 3} = 1 - e^{-0{,}6} \approx 0{,}451$.
• $P(T > 10) = e^{-2} \approx 0{,}135$.
• $P(T > 15 \mid T > 5) = P(T > 10) \approx 0{,}135$ (absence de mémoire).

Exercice-type

Énoncé : Dans un labo, le temps d'attente entre deux émissions radioactives suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}5$ (en secondes).

1. Calculer l'espérance.
2. Calculer $P(T \leq 1)$ et $P(T > 4)$.
3. Si on a déjà attendu 2 secondes sans émission, quelle est la probabilité d'attendre encore plus d'une seconde ?

Corrigé :

1. $E(T) = 1/\lambda = 2$ secondes.

2. $P(T \leq 1) = 1 - e^{-0{,}5} \approx 0{,}393$. $P(T > 4) = e^{-2} \approx 0{,}135$.

3. Par absence de mémoire : $P(T > 3 \mid T > 2) = P(T > 1) = e^{-0{,}5} \approx 0{,}607$.

Pièges à éviter

1. Confondre densité et probabilité ponctuelle. Pour une variable continue (loi exponentielle), $P(T = t) = 0$ pour tout $t$. On parle uniquement de probabilités d'intervalles.
2. Oublier l'absence de mémoire. Ne pas calculer $P(T > 10) - P(T > 5)$, c'est $P(T > 10) / P(T > 5)$ qu'il faut pour le conditionnel.
3. Mauvais paramètre $\lambda$. Si l'espérance est 5 min, alors $\lambda = 1/5$ (pas 5). Inverse de l'espérance.

Q&R pour le tuteur IA

Q : Pourquoi l'inférence bayésienne est-elle "contre-intuitive" pour les tests médicaux ? R : Parce que la prévalence (rareté de la maladie) écrase la sensibilité du test. Si la maladie est rare (1 %) et qu'un test a 10 % de faux positifs, alors la majorité des tests positifs viendront du grand groupe de non-malades (99 % de la population × 10 % de faux positifs = 9,9 %), beaucoup plus que les vrais positifs (1 % × 95 % = 0,95 %).

Q : Quelle différence entre intervalle de fluctuation et intervalle de confiance ? R : Intervalle de fluctuation : connaissant $p$ (vraie proportion), je prédis dans quel intervalle se trouvera la fréquence observée. Intervalle de confiance : connaissant la fréquence observée, j'estime dans quel intervalle se trouve la vraie proportion $p$. Inverse l'un de l'autre.

Q : Quand utiliser la loi exponentielle plutôt qu'une autre loi continue ? R : Pour les phénomènes de temps d'attente sans mémoire : intervalle entre 2 émissions radioactives, 2 clients, 2 pannes. Si la situation a une "mémoire" (par exemple un client met d'autant plus de temps à arriver qu'on l'attend), une autre loi (normale, gamma...) serait plus adaptée.