Électricité et ondes

Probabilité 2026 : ★★★★ — Ondes (Doppler, interférences) dans 7 sessions sur 8. Électricité (RC, RLC) dans 5 sur 8.

Circuits électriques

Lois fondamentales

Loi des nœuds (Kirchhoff) : la somme algébrique des courants en un nœud est nulle.

$\sum I_{entrants} = \sum I_{sortants}$

Loi des mailles : la somme algébrique des tensions le long d'une maille fermée est nulle.

$\sum U = 0 \text{ le long de la maille}$

Loi d'Ohm

Pour un résistor : $U = RI$. Unité : Ω.

Dipôle RC en régime transitoire

Charge d'un condensateur à travers une résistance :

$u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$

Constante de temps : $\tau = RC$. À $t = 5\tau$, le régime permanent est atteint à 99%.

Décharge : $u_C(t) = U_0 e^{-t/\tau}$.

Dipôle RLC

Circuit avec résistance R, bobine L, condensateur C.

Régime libre :

• Apériodique (forte résistance) : pas d'oscillations.
• Pseudo-périodique (résistance moyenne) : oscillations amorties.
• Critique : limite entre les deux.

Régime forcé : application d'une tension sinusoïdale. Phénomène de résonance.

Pulsation propre : $\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$.

Ondes mécaniques

Caractéristiques

Onde : propagation d'une perturbation sans transport de matière.

Période $T$ (s), fréquence $f = 1/T$ (Hz), longueur d'onde $\lambda = vT$ (m) où $v$ = célérité.

Types d'ondes

• Transversales : perturbation perpendiculaire à la propagation (corde, lumière).
• Longitudinales : perturbation parallèle à la propagation (son, compression).

Célérité

Dans un milieu donné, $v$ dépend du milieu (rigide → grand $v$, fluide → faible $v$).

Son dans l'air à 20°C : $v \approx 340$ m/s. Son dans l'eau : $v \approx 1500$ m/s. Lumière dans le vide : $c = 3 \times 10^8$ m/s.

Phénomènes ondulatoires

Diffraction

Cause : passage d'une onde par une ouverture ou un obstacle de taille comparable à $\lambda$.

Angle de diffraction : $\theta = \dfrac{\lambda}{a}$ (radians, $a$ = largeur de la fente).

Conséquence : élargissement angulaire de l'onde.

Interférences

Quand 2 ondes cohérentes (même $f$, déphasage constant) se rencontrent.

• Interférences constructives (amplification) : différence de marche $\delta = k\lambda$ ($k$ entier).
• Interférences destructives (annulation) : $\delta = (k + 1/2)\lambda$.

Dispositif de Young : 2 fentes éclairées par une source cohérente → figure d'interférences (franges).

Interfrange : $i = \dfrac{\lambda D}{a}$ ($D$ = distance fentes-écran, $a$ = distance entre fentes).

Effet Doppler

Décalage en fréquence dû au mouvement relatif source-observateur.

Source qui s'approche : $f_{observée} > f_{émise}$ (son aigu). Source qui s'éloigne : $f_{observée} < f_{émise}$ (son grave).

Formule simplifiée (vitesse faible devant la célérité) :

$\dfrac{\Delta f}{f} = \dfrac{v_{source}}{c}$

Applications :

• Radar de vitesse.
• Astronomie (décalage vers le rouge des galaxies → expansion de l'Univers, Hubble).
• Diagnostic médical (échographie Doppler des artères).

Optique géométrique

Loi de Snell-Descartes

Lors du passage d'un milieu d'indice $n_1$ vers un milieu d'indice $n_2$ :

$n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$

Indice de réfraction $n = c/v$ ($v$ = vitesse de la lumière dans le milieu).

Lentilles minces convergentes

Formule de conjugaison : $\dfrac{1}{OA'} - \dfrac{1}{OA} = \dfrac{1}{f'}$.

Grandissement : $\gamma = \dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{OA'}{OA}$.

Exercice-type effet Doppler

Énoncé : Une voiture se déplace à $v = 90$ km/h. Le sifflet qu'elle émet a une fréquence $f_0 = 500$ Hz. Quelle fréquence un observateur immobile entend-il quand la voiture s'approche ? Quand elle s'éloigne ? $c = 340$ m/s (vitesse du son dans l'air).

Corrigé :

$v = 25$ m/s.

Approche : $f = f_0 \cdot \dfrac{c}{c - v} = 500 \cdot \dfrac{340}{315} \approx 540$ Hz.

Éloignement : $f = f_0 \cdot \dfrac{c}{c + v} = 500 \cdot \dfrac{340}{365} \approx 466$ Hz.

L'observateur perçoit donc un son plus aigu à l'approche, plus grave à l'éloignement.

Pièges à éviter

1. Confondre fréquence et longueur d'onde. Fréquence (Hz, indépendante du milieu). Longueur d'onde (m, dépend du milieu via $v$).
2. Confondre interférences et diffraction. Diffraction = élargissement par ouverture. Interférences = superposition de 2+ ondes.
3. Oublier les unités SI. Convertir km/h en m/s, MHz en Hz.
4. Formules Doppler approximatives ou exactes. Si $v \ll c$, formule simplifiée. Sinon, formules exactes avec sens du mouvement.
5. Mauvaise lecture d'un oscillogramme. Bien lire les axes (temps en abscisses, tension en ordonnées), les périodes.

Données chiffrées

• Lumière : $c = 3 \times 10^8$ m/s dans le vide.
• Son dans l'air à 20°C : $v = 340$ m/s.
• Spectre visible : 380-780 nm.
• Indice de l'eau : $n = 1{,}33$.
• Indice du verre : $n \approx 1{,}5$.
• Charge élémentaire : $e = 1{,}60 \times 10^{-19}$ C.
• Décalage Hubble : $H_0 \approx 70$ km/s/Mpc.