Seuil de profitabilité en avenir aléatoire : la loi normale

Q: Comment passer de X à la loi centrée réduite ?

On pose T = (X - m) / σ. Si X suit N(m ; σ), T suit N(0 ; 1) et on lit la probabilité dans la table de la loi normale centrée réduite.

Q: Comment calculer la probabilité d'être bénéficiaire ?

On calcule le seuil de profitabilité en quantités Q* = CF / MCVu, puis P(X > Q*) = 1 - Π((Q* - m) / σ). Si Q* est inférieur à m, le t est négatif et on utilise Π(-t) = 1 - Π(t).

À retenir

Cadre programme : DCG, programme 2025 (arrêté du 4 août 2025, première session 2027), UE 11 « Contrôle de gestion », partie 2 « Analyser la formation du résultat et des coûts pour aider aux prises de décisions », sous-partie 2.1 « Analyser la formation du résultat ». Limites officielles : les propriétés des variables aléatoires sont limitées à la loi normale ; le seuil de profitabilité probabilisé est étudié avec la loi normale ; la loi binomiale et la loi de Poisson ne sont pas étudiées (hors programme UE 11).

Pourquoi c'est central à l'examen : l'épreuve écrite de 4 h demande de « calculer et interpréter des seuils et des marges en avenir certain et aléatoire ». Le sujet fournit la table de la loi normale centrée réduite : il faut savoir centrer et réduire, lire la table (dans les deux sens), puis traduire la probabilité obtenue en conseil au décideur. Le même outil revient en partie 3 (stock de sécurité) et en partie 4 (qualité, intervalle de confiance).

01Pourquoi passer à l'avenir aléatoire

En avenir certain, le seuil de profitabilité (cours 03) est un chiffre unique. Or les ventes de l'an prochain sont incertaines : on les représente par une variable aléatoire X (quantités vendues, chiffre d'affaires). Le résultat devient lui aussi une variable aléatoire, et la question de gestion change : non plus « à quel niveau le résultat est-il nul ? », mais « quelle est la probabilité que les ventes dépassent le seuil, ou que le résultat atteigne tel objectif ? ».

02La loi normale N(m ; σ)

2.1 Caractéristiques

Élément	Précision
Nature	Variable continue : la probabilité d'une valeur exacte est nulle, on calcule des probabilités sur des intervalles
Paramètres	m (espérance, moyenne) et σ (écart-type)
Forme	Courbe en cloche, symétrique par rapport à m, aire totale égale à 1
Lecture	P(X ≤ a) est l'aire sous la courbe à gauche de a
Valeurs de référence	Environ 68 % des valeurs dans [m - σ ; m + σ], 95 % dans [m - 2σ ; m + 2σ], 99,7 % dans [m - 3σ ; m + 3σ]

2.2 Calculer les paramètres à partir de données observées

À partir de n observations x₁, ..., xₙ : m = (somme des xᵢ) / n et σ = racine carrée de [somme des (xᵢ - m)² / n]. Certains énoncés demandent l'estimateur avec n - 1 au dénominateur : suivre la consigne.

Exemple : huit ventes mensuelles (en centaines d'unités) : 450, 550, 490, 510, 470, 530, 490, 510. Moyenne : 4 000 / 8 = 500. Somme des carrés des écarts : 2 500 + 2 500 + 100 + 100 + 900 + 900 + 100 + 100 = 7 200. Écart-type : racine(7 200 / 8) = racine(900) = 30 (avec n - 1 : racine(7 200 / 7) ≈ 32,07).

03La loi normale centrée réduite

3.1 Centrer et réduire

Si X suit N(m ; σ), alors T = (X - m) / σ suit N(0 ; 1) : la loi centrée réduite. On se ramène ainsi à une seule table.

Probabilité cherchée	Transformation	Lecture
P(X ≤ a)	t = (a - m) / σ	Π(t)
P(X ≥ a)	t = (a - m) / σ	1 - Π(t)
P(a ≤ X ≤ b)	t₁ = (a - m)/σ ; t₂ = (b - m)/σ	Π(t₂) - Π(t₁)

3.2 Lire la table

La table donne Π(t) = P(T ≤ t) pour t positif, à deux décimales de t : la ligne donne l'unité et la première décimale, la colonne la deuxième décimale.

t	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0	0,5000	0,5040	0,5080	0,5120	0,5160	0,5199	0,5239	0,5279	0,5319	0,5359
0,1	0,5398	0,5438	0,5478	0,5517	0,5557	0,5596	0,5636	0,5675	0,5714	0,5753
0,2	0,5793	0,5832	0,5871	0,5910	0,5948	0,5987	0,6026	0,6064	0,6103	0,6141
0,3	0,6179	0,6217	0,6255	0,6293	0,6331	0,6368	0,6406	0,6443	0,6480	0,6517
0,4	0,6554	0,6591	0,6628	0,6664	0,6700	0,6736	0,6772	0,6808	0,6844	0,6879
0,5	0,6915	0,6950	0,6985	0,7019	0,7054	0,7088	0,7123	0,7157	0,7190	0,7224
0,6	0,7257	0,7291	0,7324	0,7357	0,7389	0,7422	0,7454	0,7486	0,7517	0,7549
0,7	0,7580	0,7611	0,7642	0,7673	0,7704	0,7734	0,7764	0,7794	0,7823	0,7852
0,8	0,7881	0,7910	0,7939	0,7967	0,7995	0,8023	0,8051	0,8078	0,8106	0,8133
0,9	0,8159	0,8186	0,8212	0,8238	0,8264	0,8289	0,8315	0,8340	0,8365	0,8389
1,0	0,8413	0,8438	0,8461	0,8485	0,8508	0,8531	0,8554	0,8577	0,8599	0,8621
1,1	0,8643	0,8665	0,8686	0,8708	0,8729	0,8749	0,8770	0,8790	0,8810	0,8830
1,2	0,8849	0,8869	0,8888	0,8907	0,8925	0,8944	0,8962	0,8980	0,8997	0,9015
1,3	0,9032	0,9049	0,9066	0,9082	0,9099	0,9115	0,9131	0,9147	0,9162	0,9177
1,4	0,9192	0,9207	0,9222	0,9236	0,9251	0,9265	0,9279	0,9292	0,9306	0,9319
1,5	0,9332	0,9345	0,9357	0,9370	0,9382	0,9394	0,9406	0,9418	0,9429	0,9441
1,6	0,9452	0,9463	0,9474	0,9484	0,9495	0,9505	0,9515	0,9525	0,9535	0,9545
1,7	0,9554	0,9564	0,9573	0,9582	0,9591	0,9599	0,9608	0,9616	0,9625	0,9633
1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706
1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767
2,0	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817
2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857
2,2	0,9861	0,9864	0,9868	0,9871	0,9875	0,9878	0,9881	0,9884	0,9887	0,9890
2,3	0,9893	0,9896	0,9898	0,9901	0,9904	0,9906	0,9909	0,9911	0,9913	0,9916
2,4	0,9918	0,9920	0,9922	0,9925	0,9927	0,9929	0,9931	0,9932	0,9934	0,9936
2,5	0,9938	0,9940	0,9941	0,9943	0,9945	0,9946	0,9948	0,9949	0,9951	0,9952
2,6	0,9953	0,9955	0,9956	0,9957	0,9959	0,9960	0,9961	0,9962	0,9963	0,9964
2,7	0,9965	0,9966	0,9967	0,9968	0,9969	0,9970	0,9971	0,9972	0,9973	0,9974
2,8	0,9974	0,9975	0,9976	0,9977	0,9977	0,9978	0,9979	0,9979	0,9980	0,9981
2,9	0,9981	0,9982	0,9982	0,9983	0,9984	0,9984	0,9985	0,9985	0,9986	0,9986
3,0	0,9987	0,9987	0,9987	0,9988	0,9988	0,9989	0,9989	0,9989	0,9990	0,9990

Règles de lecture :

Situation	Formule	Exemple
t positif	Π(t) lu directement	Π(1,25) = 0,8944 (ligne 1,2 ; colonne 0,05)
t négatif	Π(-t) = 1 - Π(t)	P(T ≤ -0,75) = 1 - 0,7734 = 0,2266
Probabilité de dépasser	P(T > t) = 1 - Π(t)	P(T > 2,50) = 1 - 0,9938 = 0,0062
Intervalle symétrique	P(-t ≤ T ≤ t) = 2 Π(t) - 1	P(-1,5 ≤ T ≤ 1,5) = 2 × 0,9332 - 1 = 0,8664
Valeur de t entre deux colonnes	Interpolation linéaire	Π(1,645) : entre Π(1,64) = 0,9495 et Π(1,65) = 0,9505, soit 0,9500

Lecture inverse (on connaît la probabilité, on cherche t) : on cherche dans le corps de la table la probabilité la plus proche, puis on lit t sur la ligne et la colonne.

Probabilité Π(t)	t
0,90	1,28 (1,2816 plus précisément)
0,95	1,645
0,975	1,96
0,99	2,33
0,995	2,576

Le sujet précise s'il faut utiliser une table ou un outil de calcul numérique : un tableur ou une calculatrice donne la même probabilité à l'arrondi près ; les petits écarts viennent de l'arrondi de t à deux décimales.

3.3 Propriétés utiles

Propriété	Formule
Transformation affine	Si X suit N(m ; σ), alors aX + b suit N(a m + b ; \|a\| σ)
Somme de variables indépendantes	X₁ suit N(m₁ ; σ₁), X₂ suit N(m₂ ; σ₂) : X₁ + X₂ suit N(m₁ + m₂ ; racine(σ₁² + σ₂²))

Les écarts-types ne s'additionnent pas : ce sont les variances qui s'additionnent.

04Le seuil de profitabilité probabilisé

4.1 Hypothèses

Les quantités vendues X suivent N(m ; σ) ; le prix, le coût variable unitaire et les charges fixes sont certains. On note MCVu la marge unitaire sur coût variable et Q* le seuil de profitabilité en quantités (CF / MCVu).

4.2 Questions types

Question	Calcul
Résultat espéré	E(R) = MCVu × m - CF
Dispersion du résultat	σ(R) = MCVu × σ ; R suit N(MCVu × m - CF ; MCVu × σ)
Probabilité d'être bénéficiaire	P(X > Q) = 1 - Π((Q - m) / σ)
Probabilité de perte	P(X < Q) = Π((Q - m) / σ)
Probabilité d'atteindre un résultat cible R₀	P(X ≥ (CF + R₀) / MCVu)
Quantité dépassée avec une probabilité p	Lecture inverse : x = m + t σ avec P(T ≤ t) = 1 - p
Seuil compatible avec un niveau de confiance	Choisir Q* ≤ cette quantité (réduire CF ou augmenter MCVu)

Les deux approches sont équivalentes : P(R > 0) = P(X > Q*).

4.3 Intérêts et limites

Intérêts	Limites
Mesure le risque : probabilité de perte, de résultat cible	Hypothèse de normalité des ventes : à vérifier (symétrie, absence de valeurs négatives, absence de saisonnalité)
Aide à choisir entre une décision à fort rendement mais plus risquée et une plus sûre	m et σ sont estimés sur le passé : risque de fausse précision
Complète le seuil certain, qui masque l'incertitude	Prix, coûts variables et charges fixes supposés certains
	Résultats sensibles aux arrondis de t

Exemples corrigés

Cas 1 : probabilités et lecture de la table (Confiserie Delcourt)

Énoncé : la confiserie Delcourt vend des coffrets 15 € l'unité ; coût variable unitaire 9 € ; charges fixes de la période 27 000 €. Les ventes X suivent N(5 000 ; 400).

Calculer le seuil, le résultat espéré et son écart-type.
Probabilité d'être bénéficiaire ; probabilité de perte.
Probabilité d'atteindre un résultat d'au moins 4 800 €.
Quantité que l'on dépasse avec une probabilité de 95 %. Que conclure ?

Corrigé :

1. MCVu = 15 - 9 = 6 € ; Q* = 27 000 / 6 = 4 500 coffrets. E(R) = 6 × 5 000 - 27 000 = 3 000 € ; σ(R) = 6 × 400 = 2 400 €.

2. P(X > 4 500) : t = (4 500 - 5 000) / 400 = -1,25 ; P = 1 - Π(-1,25) = Π(1,25) = 0,8944. Probabilité de perte : 1 - 0,8944 = 0,1056 (soit 10,56 %). Contrôle par le résultat : R suit N(3 000 ; 2 400), P(R < 0) : t = (0 - 3 000) / 2 400 = -1,25, même résultat 0,1056.

3. Résultat ≥ 4 800 € ⇔ X ≥ (27 000 + 4 800) / 6 = 5 300. t = (5 300 - 5 000) / 400 = 0,75 ; P = 1 - Π(0,75) = 1 - 0,7734 = 0,2266.

4. On cherche x tel que P(X ≥ x) = 0,95, c'est-à-dire P(T ≥ t) = 0,95, soit t = -1,645. x = 5 000 - 1,645 × 400 = 4 342 coffrets. Conclusion : avec 95 % de chances on vend au moins 4 342 coffrets, moins que le seuil de 4 500. Pour avoir 95 % de chances d'être bénéficiaire, il faudrait un seuil d'au plus 4 342 coffrets : charges fixes de 6 × 4 342 = 26 052 € au plus (soit 948 € de moins) ou marge unitaire d'au moins 27 000 / 4 342 ≈ 6,22 €.

Écrit au décideur : « Avec des ventes moyennes de 5 000 coffrets, le résultat espéré est de 3 000 €, mais la probabilité de perte est d'environ 10,6 %, car le seuil est à 4 500 coffrets. Pour porter la probabilité d'être bénéficiaire à 95 %, il faudrait réduire les charges fixes d'environ 950 € ou augmenter la marge unitaire d'environ 0,22 €. Ces calculs supposent des ventes normalement distribuées et des coûts connus : ils restent indicatifs. »

Cas 2 : seuil probabilisé et décision (SAS Valtec)

Énoncé : reprendre Valtec (cours 03) : MCV unitaire 48 €, charges fixes 360 000 €, seuil 7 500 casques. Les ventes suivent N(10 000 ; 1 250).

Probabilité de perte ; probabilité de bénéfice.
Probabilité d'un résultat d'au moins 180 000 €.
Probabilité que les ventes soient comprises entre 8 750 et 11 250 casques.
La campagne de communication du cours 03 (charges fixes 420 000 €, seuil 8 750) ferait suivre aux ventes N(11 000 ; 1 250). Comparer avec la situation initiale.

Corrigé :

1. t = (7 500 - 10 000) / 1 250 = -2,00. Probabilité de perte : Π(-2,00) = 1 - 0,9772 = 0,0228 ; probabilité de bénéfice : 0,9772. Résultat : R suit N(48 × 10 000 - 360 000 ; 48 × 1 250) = N(120 000 ; 60 000) ; P(R < 0) : t = -120 000 / 60 000 = -2, cohérent.

2. R ≥ 180 000 ⇔ X ≥ (360 000 + 180 000) / 48 = 11 250. t = (11 250 - 10 000) / 1 250 = 1,00 ; P = 1 - 0,8413 = 0,1587.

3. t₁ = (8 750 - 10 000) / 1 250 = -1 ; t₂ = +1. P = Π(1) - Π(-1) = 2 × 0,8413 - 1 = 0,6826.

4. Avec campagne : résultat espéré 48 × 11 000 - 420 000 = 108 000 € ; probabilité de bénéfice : t = (8 750 - 11 000) / 1 250 = -1,80 ; P = Π(1,80) = 0,9641.

	Sans campagne	Avec campagne
Résultat espéré	120 000 €	108 000 €
Écart-type du résultat	60 000 €	60 000 €
Probabilité de bénéfice	0,9772	0,9641

La campagne diminue à la fois le résultat espéré et la probabilité d'être bénéficiaire : elle n'est pas défendable sur ces hypothèses.

Écrit au décideur : « Sans campagne, la probabilité d'être bénéficiaire est de 97,7 % ; avec campagne, elle tombe à 96,4 % et le résultat espéré baisse de 12 000 €. L'investissement publicitaire n'apporte donc ni gain ni sécurité supplémentaire. Si la campagne avait un objectif d'image, il faudrait le chiffrer séparément. »

Cas 3 : somme de deux demandes indépendantes (Valtec, deux canaux)

Énoncé : Valtec vend en ligne (X₁ suit N(6 000 ; 900)) et en magasins (X₂ suit N(4 000 ; 1 200)), les deux demandes étant supposées indépendantes. Quelle est la probabilité d'atteindre le seuil de 7 500 casques au total ?

Corrigé : X = X₁ + X₂ suit N(6 000 + 4 000 ; racine(900² + 1 200²)). Calcul : 900² = 810 000 ; 1 200² = 1 440 000 ; somme 2 250 000 ; racine = 1 500. X suit N(10 000 ; 1 500). t = (7 500 - 10 000) / 1 500 = -1,667, arrondi à -1,67 ; P(X ≥ 7 500) = Π(1,67) = 0,9525 (la valeur exacte est 0,9522 : écart dû à l'arrondi de t).

Remarque : additionner les écarts-types (900 + 1 200 = 2 100) serait une erreur ; l'écart-type de la somme (1 500) est inférieur, car les variations des deux canaux se compensent en partie. L'hypothèse d'indépendance est déterminante : si les deux canaux réagissent à un même facteur (saison, conjoncture), la dispersion réelle serait plus grande.

Vocabulaire essentiel

Terme	Définition
Variable aléatoire	Grandeur dont la valeur dépend du hasard (ventes futures)
Loi normale N(m ; σ)	Loi continue en cloche symétrique, définie par sa moyenne et son écart-type
Espérance (moyenne)	Valeur moyenne de la variable
Écart-type	Mesure de dispersion autour de la moyenne
Variable centrée réduite	T = (X - m) / σ, qui suit N(0 ; 1)
Π(t)	Probabilité P(T ≤ t) lue dans la table
Seuil de profitabilité probabilisé	Étude de la probabilité que les ventes dépassent le seuil
Probabilité de perte	P(X < seuil)
Lecture inverse	Recherche de t connaissant la probabilité
Indépendance	Absence de lien entre deux variables, condition pour additionner les variances

Points clés à retenir

En avenir aléatoire, les ventes sont une variable aléatoire, et le résultat aussi.
Seule la loi normale est au programme (pas de binomiale ni de Poisson).
On se ramène à la loi centrée réduite avec T = (X - m) / σ.
Π(-t) = 1 - Π(t) ; P(T > t) = 1 - Π(t) ; P(a ≤ T ≤ b) = Π(b) - Π(a).
Si X suit N(m ; σ), le résultat R = MCVu × X - CF suit N(MCVu × m - CF ; MCVu × σ).
La probabilité d'être bénéficiaire est P(X > seuil de profitabilité).
Pour une somme de variables indépendantes, les moyennes s'additionnent et les variances aussi (pas les écarts-types).
La lecture inverse de la table sert à déterminer une quantité garantie avec une probabilité donnée.
Le conseil au décideur traduit la probabilité (risque de perte, chance d'atteindre un objectif) et rappelle les limites (normalité, indépendance, paramètres estimés).

Pièges fréquents

Oublier de centrer et réduire et lire la table avec la valeur de X.
Mauvais sens : confondre P(X > a) et P(X < a) ; faire un dessin de la cloche aide.
Lire Π(t) pour un t négatif sans passer par 1 - Π(-t).
Additionner les écarts-types de deux variables indépendantes au lieu des variances.
Oublier de multiplier l'écart-type par la marge unitaire pour passer de X à R.
Arrondir trop tôt (t à une décimale) : garder deux décimales, comme la table.
Employer la loi binomiale ou de Poisson : hors programme UE 11.
Interpréter une probabilité comme une certitude : une probabilité de 90 % laisse 10 % de chances d'échec.

Q&R pour le tuteur IA

Q : Comment passer de X à la loi centrée réduite ? R : On pose T = (X - m) / σ. Si X suit N(m ; σ), T suit N(0 ; 1) et on lit la probabilité dans la table de la loi normale centrée réduite.

Q : Comment calculer la probabilité d'être bénéficiaire ? R : On calcule le seuil de profitabilité en quantités Q* = CF / MCVu, puis P(X > Q*) = 1 - Π((Q* - m) / σ). Si Q* est inférieur à m, le t est négatif et on utilise Π(-t) = 1 - Π(t).

Q : Comment lit-on la table pour un t négatif ? R : La table ne donne que les valeurs positives. Par symétrie, Π(-t) = 1 - Π(t). Par exemple Π(-1,25) = 1 - 0,8944 = 0,1056.

Q : Quelle loi suit le résultat si les ventes suivent N(m ; σ) ? R : R = MCVu × X - CF suit N(MCVu × m - CF ; MCVu × σ) : la moyenne est le résultat au niveau moyen de ventes, l'écart-type est celui des ventes multiplié par la marge unitaire.

Q : Comment trouver la quantité que l'on dépasse avec 95 % de chances ? R : On cherche t tel que P(T ≤ t) = 0,05, soit t = -1,645, puis x = m - 1,645 σ. C'est une lecture inverse de la table.

Q : Quelles sont les limites de cette approche ? R : Elle suppose que les ventes sont normales, que m et σ sont bien estimés et que prix, coûts variables et charges fixes sont certains. Elle donne une idée du risque mais pas une certitude.