Ordonnancer un projet : la méthode MPM, dates, marges libres et totales, chemin critique

À retenir

Cadre programme : DCG, programme 2025 (arrêté du 4 août 2025, première session 2027), UE 11 « Contrôle de gestion », partie 3 « Mettre en œuvre une démarche budgétaire pour piloter une organisation », sous-partie 3.2 « Mettre en œuvre les techniques prévisionnelles pour la gestion budgétaire » (outils pour prévoir les budgets productifs). L'ordonnancement est limité à l'outil MPM. Les marges libres et totales sont à calculer et à analyser. Le diagramme de GANTT n'est pas abordé.

Pourquoi c'est central à l'examen : un budget de production ou de projet suppose de connaître les délais. L'épreuve écrite de 4 h demande de construire le graphe MPM, de calculer les dates au plus tôt et au plus tard, les marges libres et totales et le chemin critique, puis d'analyser : quelles tâches peuvent prendre du retard sans conséquence, lesquelles menacent la date de livraison, que conseiller au décideur.

01Principe de la méthode MPM

La méthode MPM (méthode des potentiels Métra) représente un projet par un graphe dans lequel :

chaque tâche est un sommet (une case) ;
chaque relation d'antériorité est un arc (flèche) valué par la durée de la tâche d'origine ;
une tâche fictive Début précède les tâches sans antérieure ; une tâche fictive Fin suit les tâches sans successeur.

Étape	Opération
1. Tableau d'antériorités	Lister les tâches, leurs durées et les tâches qui doivent être terminées avant leur démarrage
2. Graphe	Dessiner les sommets et les arcs (la durée portée sur l'arc est celle de la tâche d'où il part)
3. Dates au plus tôt	Calcul de gauche à droite
4. Dates au plus tard	Calcul de droite à gauche
5. Marges	Marges totales et libres
6. Chemin critique	Suite de tâches de marge totale nulle

Convention : les dates sont des durées écoulées depuis le début du projet (date 0). Un arc de A vers B signifie : B ne peut commencer que d'au moins durée(A) après le début de A.

02Les dates

2.1 Date de début au plus tôt (DPT)

Pour une tâche t : DPT(t) = maximum, sur ses antérieures p, de [DPT(p) + durée(p)]. Pour les tâches sans antérieure : DPT = 0. La durée du projet est la DPT de la tâche Fin (c'est la plus grande date de fin au plus tôt).

2.2 Date de début au plus tard (DPTard)

On part de la durée du projet. Pour une tâche t : DPTard(t) = minimum, sur ses successeurs s, de DPTard(s) - durée(t). Pour une tâche sans successeur : DPTard = durée du projet - durée(t).

C'est la date à laquelle la tâche doit démarrer au plus tard pour ne pas retarder le projet.

03Les marges

Marge	Formule	Signification
Marge totale (MT)	MT(t) = DPTard(t) - DPT(t)	Retard maximal de démarrage ou d'allongement de la tâche sans retarder la fin du projet
Marge libre (ML)	ML(t) = minimum des DPT des successeurs - DPT(t) - durée(t)	Retard maximal sans retarder le début au plus tôt d'aucune tâche suivante

Propriétés à connaître :

0 ≤ ML ≤ MT : la marge libre est plus restrictive que la marge totale ;
une tâche de marge totale nulle est critique ;
la marge totale est partagée entre les tâches successives d'un même chemin : si la première tâche d'une chaîne consomme sa marge, les suivantes perdent d'autant la leur ;
la marge libre peut être consommée sans conséquence sur les autres tâches.

3.1 Le chemin critique

Le chemin critique est la suite de tâches de marge totale nulle qui relie Début à Fin : sa durée est la durée du projet. Tout retard sur une tâche critique retarde le projet de la même durée. Il peut exister plusieurs chemins critiques. Réduire la durée du projet suppose d'agir sur les tâches critiques ; mais, après réduction, un autre chemin peut devenir critique.

3.2 Lire les marges

Situation d'une tâche	Conséquence d'un retard de x jours
x ≤ marge libre	Aucune conséquence ni sur les tâches suivantes ni sur le projet
marge libre < x ≤ marge totale	Les tâches suivantes sont décalées, mais la fin du projet ne bouge pas ; les marges des suivantes diminuent
x > marge totale	Le projet est retardé de (x - marge totale)

04Intérêts et limites

Intérêts	Limites
Visualise les enchaînements et les tâches critiques	Durées supposées certaines (aucun aléa)
Concentre le suivi sur les tâches qui comptent	Ne gère pas les ressources (personnel, machines disponibles) : plusieurs tâches parallèles peuvent exiger les mêmes ressources
Quantifie les marges de manœuvre	Le graphe devient complexe pour de gros projets
Aide à négocier des délais avec les clients ou les fournisseurs	Suppose des antériorités strictes (une tâche commence quand la précédente est finie)

À retenir

Hors programme UE 11 : le diagramme de GANTT.

Exemples corrigés

Cas 1 : construire le MPM, calculer les dates, les marges et le chemin critique

Énoncé : une entreprise prépare la mise en service d'un nouveau poste de travail. Les tâches (durées en jours) sont :

Tâche	Désignation	Durée	Tâches antérieures
A	Étude des besoins	3
B	Commande du matériel	2	A
C	Aménagement du local	4	A
D	Livraison du matériel	5	B
E	Câblage réseau	2	C
F	Installation des équipements	4	C, D
G	Formation des utilisateurs	2	E
H	Tests	2	F, G
I	Mise en service	1	H, J
J	Communication interne	2	A

Construire le graphe, calculer les dates au plus tôt et au plus tard, les marges, le chemin critique et la durée du projet.

Corrigé :

1. Graphe (arcs valués par la durée de la tâche d'origine) :

Début  -0->  A
A  -3->  B, C, J
B  -2->  D
C  -4->  E, F
D  -5->  F
E  -2->  G
F  -4->  H
G  -2->  H
H  -2->  I
J  -2->  I
I  -1->  Fin

2. Dates au plus tôt (de gauche à droite) :

Tâche	Calcul de la date de début au plus tôt	DPT
A	pas d'antérieure	0
B	DPT(A) + 3	3
C	DPT(A) + 3	3
J	DPT(A) + 3	3
D	DPT(B) + 2	5
E	DPT(C) + 4	7
F	max (DPT(C) + 4 ; DPT(D) + 5) = max (7 ; 10)	10
G	DPT(E) + 2	9
H	max (DPT(F) + 4 ; DPT(G) + 2) = max (14 ; 11)	14
I	max (DPT(H) + 2 ; DPT(J) + 2) = max (16 ; 5)	16
Fin	DPT(I) + 1	17

Durée du projet : 17 jours.

3. Dates au plus tard (de droite à gauche) :

Tâche	Calcul de la date de début au plus tard	DPTard
I	17 - 1	16
H	DPTard(I) - 2	14
J	DPTard(I) - 2	14
G	DPTard(H) - 2	12
F	DPTard(H) - 4	10
E	DPTard(G) - 2	10
D	DPTard(F) - 5	5
C	min (DPTard(E) ; DPTard(F)) - 4 = min (10 ; 10) - 4	6
B	DPTard(D) - 2	3
A	min (DPTard(B) ; DPTard(C) ; DPTard(J)) - 3 = min (3 ; 6 ; 14) - 3	0

4. Marges :

Tâche	Durée	DPT	DPTard	Marge totale (DPTard - DPT)	Marge libre : min DPT des suivantes - DPT - durée
A	3	0	0	0	min (3 ; 3 ; 3) - 0 - 3 = 0
B	2	3	3	0	5 - 3 - 2 = 0
C	4	3	6	3	min (7 ; 10) - 3 - 4 = 0
D	5	5	5	0	10 - 5 - 5 = 0
E	2	7	10	3	9 - 7 - 2 = 0
F	4	10	10	0	14 - 10 - 4 = 0
G	2	9	12	3	14 - 9 - 2 = 3
H	2	14	14	0	16 - 14 - 2 = 0
I	1	16	16	0	17 - 16 - 1 = 0
J	2	3	14	11	16 - 3 - 2 = 11

(Pour une tâche sans successeur, comme I, la date retenue est celle de la fin du projet : 17.)

5. Chemin critique : tâches de marge totale nulle, soit A - B - D - F - H - I. Durée : 3 + 2 + 5 + 4 + 2 + 1 = 17 jours, soit la durée du projet.

Analyse :

Chaîne C - E - G : chaque tâche a une marge totale de 3 jours, mais la marge libre de C et E est nulle : la marge de 3 jours est partagée par les trois tâches et n'est pas disponible trois fois. Seule G, en fin de chaîne, a une marge libre égale à sa marge totale (3).
Tâche J (communication interne) : 11 jours de marge libre et totale ; son placement est très souple.
Tâches critiques (B, D, F) : la livraison du matériel (D, 5 jours) est la tâche critique la plus longue ; c'est là que la négociation de délai avec le fournisseur a le plus d'effet.

Cas 2 : analyser des retards avec les marges libres et totales

Énoncé : en cours de projet (graphe du cas 1), le chef de projet signale quatre incidents. Pour chacun, mesurer l'effet sur les autres tâches et sur la durée du projet.

Corrigé : on compare le retard à la marge libre (ML) et à la marge totale (MT) de la tâche.

Incident	Tâche	ML	MT	Effet sur les autres tâches	Durée du projet
1. La communication interne dure 10 jours au lieu de 2 (retard de 8 j)	J	11	11	8 ≤ 11 : aucun effet	17 j (inchangée)
2. Le câblage dure 4 jours au lieu de 2 (retard de 2 j)	E	0	3	0 < 2 ≤ 3 : G démarre à 11 au lieu de 9 ; sa marge totale tombe à 12 - 11 = 1 ; H (début 14) n'est pas touchée	17 j (inchangée)
3. La livraison du matériel dure 7 jours au lieu de 5 (retard de 2 j)	D	0	0	2 > 0 : F démarre à 12 au lieu de 10 ; H à 16 au lieu de 14 ; I à 18 au lieu de 16	19 j (+ 2 j)
4. L'aménagement du local dure 9 jours au lieu de 4 (retard de 5 j)	C	0	3	5 > 3 : E démarre à 12 (au lieu de 7), F à 12 (au lieu de 10), G à 14 (au lieu de 9), H à 16 (au lieu de 14) ; la marge totale est dépassée de 2 jours	19 j (+ 2 j = 5 - 3)

Vérification de l'incident 4 : C se termine à 3 + 9 = 12 ; E démarre à 12 et se termine à 14, donc G démarre à 14 et se termine à 16 ; F démarre à max (12 ; 10) = 12 et se termine à 16 ; H démarre à max (16 ; 16) = 16, I à 18, la fin du projet est à 19.

Écrit au décideur (extrait) : « Le projet dure 17 jours. Les tâches A, B, D, F, H et I sont critiques : tout retard sur ces tâches repousse la mise en service d'autant. La livraison du matériel (D) concentre le risque : un retard de 2 jours chez le fournisseur retarde le projet de 2 jours. Je recommande de suivre D chaque jour, de prévoir une pénalité de retard ou un second fournisseur, et de ne pas dépenser d'énergie sur la communication interne (J), qui dispose de 11 jours de marge. Pour la chaîne aménagement - câblage - formation, la marge est de 3 jours à partager : au-delà, le projet est retardé. Limites de l'analyse : les durées sont supposées certaines et les ressources disponibles (une même équipe ne peut pas toujours mener en parallèle l'aménagement et le câblage). »

Vocabulaire essentiel

Terme	Définition
MPM	Méthode des potentiels Métra : graphe où les tâches sont des sommets et les antériorités des arcs
Antériorité	Tâche qui doit être terminée avant le début d'une autre
Date de début au plus tôt	Date la plus précoce à laquelle une tâche peut démarrer
Date de début au plus tard	Date limite de démarrage sans retarder le projet
Marge totale	Retard possible sans retarder la fin du projet (DPTard - DPT)
Marge libre	Retard possible sans décaler le début au plus tôt d'aucune tâche suivante
Tâche critique	Tâche de marge totale nulle
Chemin critique	Suite de tâches critiques de Début à Fin ; sa durée est celle du projet
Tâche fictive	Début et Fin du graphe, de durée nulle

Points clés à retenir

Dans le MPM, les tâches sont des sommets ; l'arc part d'une tâche avec comme valeur sa durée.
DPT(t) = maximum des (DPT(antérieure) + durée de l'antérieure) ; durée du projet = DPT de la tâche Fin.
DPTard(t) = minimum des DPTard des suivantes - durée de t.
Marge totale = DPTard - DPT ; marge libre = minimum des DPT des suivantes - DPT - durée.
0 ≤ marge libre ≤ marge totale.
Tâche critique : marge totale nulle ; chemin critique : suite de tâches critiques, de durée égale à la durée du projet.
Retard ≤ marge libre : sans conséquence ; entre marge libre et marge totale : décale les suivantes mais pas le projet ; au-delà de la marge totale : retard du projet de l'excédent.
La marge totale est partagée entre les tâches d'une même chaîne.
Limites : durées certaines, ressources non gérées.
Le GANTT est hors programme.

Pièges fréquents

Prendre le minimum au lieu du maximum dans le calcul des dates au plus tôt (et le maximum au lieu du minimum au plus tard).
Valuer l'arc avec la durée de la tâche de destination : c'est la durée de la tâche d'origine.
Oublier la durée dans le calcul des marges libres : ML = min DPT des suivantes - DPT - durée.
Confondre marge libre et marge totale ; ou croire qu'elles sont toutes deux disponibles en même temps sur une chaîne.
Oublier qu'une tâche sans successeur a pour référence la fin du projet.
Ne citer qu'un seul chemin critique alors qu'il peut y en avoir plusieurs.
Ne pas analyser : un calcul de marges sans conclusion ne suffit pas à l'examen.
Dessiner un GANTT : hors programme.

Q&R pour le tuteur IA

Q : Comment calcule-t-on la date de début au plus tôt d'une tâche ? R : C'est le maximum, sur toutes ses tâches antérieures, de la date de début au plus tôt de l'antérieure augmentée de sa durée. Une tâche ne peut démarrer que quand la dernière de ses antérieures est terminée.

Q : Quelle est la différence entre marge libre et marge totale ? R : La marge totale est le retard possible sans retarder la fin du projet. La marge libre est le retard possible sans décaler le début au plus tôt d'aucune tâche suivante : elle est toujours inférieure ou égale à la marge totale.

Q : Qu'est-ce que le chemin critique ? R : La suite de tâches de marge totale nulle entre Début et Fin. Sa durée est celle du projet : tout retard sur l'une d'elles retarde le projet.

Q : Une tâche non critique peut-elle quand même retarder le projet ? R : Oui, si son retard dépasse sa marge totale : le projet est alors retardé de l'excédent. Une marge totale partagée entre plusieurs tâches successives peut aussi être épuisée par l'ensemble de leurs retards.

Q : Que faire pour raccourcir un projet ? R : Agir sur les tâches critiques (réduire leur durée, négocier des délais), car réduire une tâche non critique ne change rien. Après réduction, un autre chemin peut devenir critique.

Q : Quelles sont les limites du MPM ? R : Il suppose des durées certaines, ne tient pas compte de la disponibilité des ressources et devient lourd pour de gros projets. Le diagramme de GANTT, qui complète souvent l'ordonnancement, n'est pas au programme de l'UE 11.