Optimiser la production sous contraintes : programmation linéaire graphique et facteur rare

À retenir

Cadre programme : DCG, programme 2025 (arrêté du 4 août 2025, première session 2027), UE 11 « Contrôle de gestion », partie 3 « Mettre en œuvre une démarche budgétaire pour piloter une organisation », sous-partie 3.2 « Mettre en œuvre les techniques prévisionnelles pour la gestion budgétaire » (outils pour prévoir les budgets productifs). La programmation linéaire est étudiée avec la méthode graphique et la méthode du facteur rare (goulot d'étranglement). La méthode du simplexe n'est pas abordée.

Pourquoi c'est central à l'examen : quand la capacité de production est limitée, le budget de production doit choisir quoi produire en priorité. L'épreuve écrite de 4 h demande de poser le programme, de le résoudre graphiquement ou par classement, de lire le résultat (capacités saturées, valeur d'une heure supplémentaire) et de conseiller le décideur. Le piège principal est d'optimiser sur la mauvaise grandeur (marge unitaire au lieu de marge par unité de facteur rare).

01Le problème de production sous contraintes

Une entreprise fabrique plusieurs produits avec des ressources limitées (heures de machine, de main-d'œuvre, matières) et des débouchés limités. Elle cherche le programme de production (quantités à fabriquer de chaque produit) qui donne le meilleur résultat possible.

Élément	Définition	Exemple
Variables de décision	Les quantités à produire	x = quantité de P1 ; y = quantité de P2
Fonction économique	Ce que l'on maximise : la marge sur coût variable totale	M = 30 x + 50 y
Contraintes	Limites des capacités et du marché, sous forme d'inéquations	x + 2 y ≤ 120 (heures de découpe)
Contraintes de signe	Les quantités ne sont pas négatives	x ≥ 0 ; y ≥ 0

On maximise la marge sur coût variable et non le résultat : les charges fixes sont indépendantes du programme choisi (dans la limite des capacités) et ne changent donc pas la solution. Elles ne s'ajoutent qu'à la fin pour calculer le résultat.

Hypothèses du modèle : les relations sont linéaires (le double de production consomme le double de ressources, les marges unitaires sont constantes), les données sont certaines, les quantités sont divisibles (on arrondit si nécessaire).

02La méthode graphique (deux produits)

2.1 Les étapes

Étape	Opération
1. Modéliser	Définir x et y, écrire la fonction économique et les inéquations
2. Tracer le domaine	Pour chaque contrainte, tracer la droite d'égalité, repérer le côté admissible ; l'intersection de tous les côtés est le polygone des solutions réalisables
3. Repérer les sommets	Calculer les coordonnées de chaque sommet (en résolvant le système de deux droites qui s'y coupent)
4. Optimiser	Tracer une droite d'iso-marge (M = constante) et la déplacer parallèlement dans le sens où M croît, jusqu'au dernier point du polygone touché ; ou calculer M à chaque sommet et retenir le plus grand
5. Interpréter	Quantités optimales, marge, contraintes saturées ou non, capacités inutilisées

Propriété : l'optimum, s'il existe, est atteint en au moins un sommet du polygone.

2.2 Lire la solution

Notion	Définition
Contrainte saturée (active)	Contrainte vérifiée avec égalité à l'optimum : la ressource est entièrement utilisée, elle limite le résultat
Contrainte non saturée	Contrainte vérifiée avec une marge : de la capacité ou du débouché reste inutilisé (écart = capacité inutilisée)
Valeur d'une unité supplémentaire de ressource (coût d'opportunité, prix fictif)	Gain de marge procuré par une unité supplémentaire d'une ressource saturée (nulle pour une contrainte non saturée) ; valable tant qu'une autre contrainte ne devient pas saturée

La valeur d'une unité de ressource fournit le prix maximal que l'on accepterait de payer pour l'obtenir (heure supplémentaire, location de machine, sous-traitance).

2.3 Sensibilité aux marges

La solution reste optimale tant que la pente de la droite d'iso-marge reste comprise entre celles des deux contraintes qui se coupent au sommet optimal : un changement de prix ou de coût qui sort de cette plage fait basculer l'optimum vers un autre sommet.

03La méthode du facteur rare (goulot d'étranglement)

Lorsqu'une seule ressource limite la production (le facteur rare), les produits ne se classent pas selon leur marge unitaire, mais selon la marge sur coût variable par unité de facteur rare.

Étape	Opération
1. Repérer le facteur rare	Comparer les besoins totaux aux capacités : la ressource dont les besoins dépassent la capacité
2. Calculer la marge par unité de facteur rare	Marge unitaire / quantité de facteur rare consommée par unité de produit (par exemple marge par heure machine)
3. Classer	Ordre décroissant des marges par unité de facteur rare
4. Affecter	Satisfaire les débouchés dans cet ordre jusqu'à épuisement du facteur rare
5. Calculer la marge totale	Somme des marges sur coût variable, puis résultat = marge - charges fixes

La méthode est un cas particulier de la programmation linéaire, avec une seule contrainte de ressource et des débouchés plafonnés.

04Intérêts et limites

Intérêts	Limites
Décision rationnelle sur le mix produits	Hypothèses de linéarité et de certitude (marges constantes, capacités connues)
Révèle les contraintes qui pèsent réellement (goulots) et le prix d'une capacité supplémentaire	Ne traite que la marge : ignore image, stratégie commerciale, clientèle, effets sur d'autres produits
Rapidité de la méthode du facteur rare	Une seule contrainte : si plusieurs ressources sont rares, il faut un programme linéaire complet
Lisible pour un décideur (graphique)	Méthode graphique limitée à deux produits
Aide à justifier un investissement ou une sous-traitance	Les marges dépendent de la qualité des coûts calculés (cours de la partie coûts)

À retenir

Hors programme UE 11 : la méthode du simplexe.

Exemples corrigés

Cas 1 : la méthode graphique avec quatre contraintes

Énoncé : un atelier fabrique deux produits P1 et P2. Marge sur coût variable : 30 € par unité de P1 et 50 € par unité de P2. Heures consommées par unité et capacités mensuelles :

	P1	P2	Capacité mensuelle
Découpe (heures)	1	2	120
Assemblage (heures)	3	2	200
Débouché maximal (unités)	60	45

Déterminer le programme optimal, les capacités inutilisées et la valeur d'une heure supplémentaire de chaque atelier.

Corrigé :

1. Modèle (x = quantité de P1, y = quantité de P2) : maximiser M = 30 x + 50 y sous les contraintes

découpe : x + 2 y ≤ 120 ;
assemblage : 3 x + 2 y ≤ 200 ;
débouché de P1 : x ≤ 60 ; débouché de P2 : y ≤ 45 ;
x ≥ 0 ; y ≥ 0.

2. Tracé : la droite de découpe coupe les axes en x = 120 (si y = 0) et y = 60 (si x = 0) ; celle d'assemblage en x = 66,67 (si y = 0) et y = 100 (si x = 0) ; les débouchés sont les droites verticale x = 60 et horizontale y = 45. Le polygone des solutions réalisables, situé du côté « inférieur » de chaque droite, est limité par ces quatre droites et par les axes.

3. Sommets du polygone :

Sommet	Droites qui se coupent	Coordonnées (x ; y)	Marge M = 30 x + 50 y
O	x = 0 et y = 0	(0 ; 0)	0
A	y = 0 et x = 60	(60 ; 0)	1 800
B	x = 60 et assemblage	(60 ; 10)	1 800 + 500 = 2 300
C	découpe et assemblage	(40 ; 40)	1 200 + 2 000 = 3 200
D	découpe et y = 45	(30 ; 45)	900 + 2 250 = 3 150
E	x = 0 et y = 45	(0 ; 45)	2 250

Détail des calculs : B : x = 60 donc 180 + 2 y = 200 soit y = 10. C : x + 2y = 120 et 3x + 2y = 200 ; en soustrayant, 2x = 80 soit x = 40, puis y = 40. D : y = 45 donc x = 120 - 90 = 30 ; vérification de l'assemblage : 90 + 90 = 180 ≤ 200.

Programme optimal : 40 unités de P1 et 40 unités de P2, marge sur coût variable de 3 200 €. (Droite d'iso-marge : M = 3 200 coupe les axes en x = 106,7 et y = 64 ; c'est la dernière droite parallèle qui touche le polygone, au sommet C.)

4. Interprétation des contraintes à l'optimum (40 ; 40) :

Contrainte	Utilisation	État
Découpe	40 + 80 = 120 h sur 120	Saturée
Assemblage	120 + 80 = 200 h sur 200	Saturée
Débouché P1	40 sur 60	Non saturée : 20 unités de débouché inutilisées
Débouché P2	40 sur 45	Non saturée : 5 unités de débouché inutilisées

5. Valeur d'une heure supplémentaire. Avec h1 = prix fictif de la découpe et h2 = celui de l'assemblage, les deux produits étant fabriqués, la valeur des ressources consommées égale la marge :

P1 : 1·h1 + 3·h2 = 30 ; P2 : 2·h1 + 2·h2 = 50.
De la seconde : h1 + h2 = 25 ; en soustrayant de la première : 2·h2 = 5 donc h2 = 2,5 € et h1 = 22,5 €.

Vérification directe : avec 1 h de découpe en plus (121 h), le nouveau sommet est x = 39,5 et y = 40,75, marge = 1 185 + 2 037,5 = 3 222,5, soit +22,5 €. Avec 1 h d'assemblage en plus (201 h) : x = 40,5 et y = 39,75, marge = 1 215 + 1 987,5 = 3 202,5, soit +2,5 €.

Ces valeurs sont valables tant que la capacité de découpe reste entre 80 et 126,7 h (au-delà, un débouché devient saturé) et celle d'assemblage entre 180 et 240 h.

6. Sensibilité : le sommet C reste optimal tant que la marge de P2 reste entre 20 et 60 € (marge de P1 fixée à 30 €), et tant que la marge de P1 reste entre 25 et 75 € (marge de P2 fixée à 50 €). Hors de ces plages, l'optimum change de sommet.

Analyse et recommandation : c'est la découpe qui est le vrai goulot : chaque heure supplémentaire rapporte 22,5 €, contre 2,5 € pour l'assemblage. Si une heure de découpe peut être obtenue pour un surcoût inférieur à 22,5 € par rapport au coût déjà inclus dans la marge (heure supplémentaire, sous-traitance), il est rentable de l'acheter, dans la limite de 6,7 h supplémentaires (jusqu'à 126,7 h). À l'inverse, investir dans l'assemblage n'est pas rentable à ce stade. Limite : les marges sont supposées constantes et les capacités certaines.

Cas 2 : le facteur rare, marge unitaire contre marge par heure

Énoncé : une usine fabrique trois produits A, B et C avec une seule ressource limitée : 1 800 heures-machine par mois. Données :

Produit	Marge unitaire (€)	Heures-machine par unité	Débouché maximal (unités)
A	35	2,5	300
B	36	2	400
C	30	1,5	500

Les charges fixes mensuelles sont de 20 000 €. Déterminer le programme optimal, puis comparer avec un programme fondé sur la marge unitaire.

Corrigé :

1. Repérer le facteur rare : besoins pour satisfaire tous les débouchés = 300 × 2,5 + 400 × 2 + 500 × 1,5 = 750 + 800 + 750 = 2 300 h, supérieurs aux 1 800 h disponibles : les heures-machine sont le facteur rare.

2. Marge par heure-machine et classement :

Produit	Calcul	Marge par heure (€)	Rang
A	35 / 2,5	14	3
B	36 / 2	18	2
C	30 / 1,5	20	1

3. Affectation du facteur rare dans l'ordre de classement :

Produit	Quantité produite	Heures utilisées	Heures restantes	Marge (€)
C	500 (débouché complet)	750	1 800 - 750 = 1 050	500 × 30 = 15 000
B	400 (débouché complet)	800	1 050 - 800 = 250	400 × 36 = 14 400
A	100 (250 / 2,5)	250	0	100 × 35 = 3 500
Total
1 800
32 900

Résultat = 32 900 - 20 000 = 12 900 €. Le produit A est partiellement produit (100 sur 300).

4. Comparaison avec un classement par marge unitaire (B 36, A 35, C 30) :

Produit	Quantité	Heures utilisées	Marge (€)
B	400	800	14 400
A	300	750	10 500
C	166 (250 / 1,5 = 166,7 arrondi à l'entier inférieur)	249	4 980
Total
1 799	29 880

Le classement par marge unitaire donne 29 880 € de marge, soit 3 020 € de moins que le classement par marge par heure (32 900 €).

5. Valeur d'une heure-machine supplémentaire : elle serait employée à fabriquer A (le produit marginal), soit une marge de 14 € par heure. Tant que l'heure supplémentaire coûte moins de 14 € de plus qu'une heure normale (en supplément de coût de personnel, énergie, location), il est rentable d'en acheter, jusqu'à ce que A atteigne son débouché (300 unités, soit (300 - 100) × 2,5 = 500 heures supplémentaires). Au-delà, une heure supplémentaire ne rapporte plus rien.

Écrit au décideur (extrait) : « Le volume d'heures-machine disponible limite la production : il manque 500 h pour satisfaire la demande. Prioriser C puis B, qui rapportent respectivement 20 € et 18 € par heure contre 14 € pour A, améliore la marge de 3 020 € par rapport à un classement par marge unitaire. Il est recommandé d'accepter jusqu'à 500 heures supplémentaires si leur coût additionnel est inférieur à 14 € l'heure. Réserve : ce raisonnement suppose que les marges soient constantes et que le refus de livrer une partie de A (200 unités) ne dégrade pas la relation avec les clients de ce produit. »

Vocabulaire essentiel

Terme	Définition
Fonction économique	Grandeur à optimiser (ici la marge sur coût variable totale)
Contrainte	Limite des ressources ou des débouchés, écrite sous forme d'inéquation
Domaine (polygone) des solutions réalisables	Ensemble des programmes de production qui respectent toutes les contraintes
Sommet	Point d'intersection de deux contraintes ; l'optimum est atteint en un sommet
Droite d'iso-marge	Ensemble des programmes qui donnent la même marge
Contrainte saturée	Contrainte vérifiée avec égalité à l'optimum
Facteur rare (goulot d'étranglement)	Ressource dont les besoins dépassent la capacité et qui limite l'activité
Marge par unité de facteur rare	Marge unitaire divisée par la quantité de facteur rare consommée par unité
Coût d'opportunité (prix fictif)	Gain de marge procuré par une unité supplémentaire d'une ressource saturée
Marge sur coût variable	Chiffre d'affaires moins charges variables

Points clés à retenir

On optimise la marge sur coût variable ; les charges fixes ne changent pas la solution.
Modèle : variables (quantités), fonction économique, contraintes, signe positif.
Méthode graphique : tracer le polygone des solutions réalisables, calculer les sommets, retenir celui de marge maximale.
L'optimum est atteint en un sommet ; on peut aussi déplacer la droite d'iso-marge.
Une contrainte saturée limite le résultat ; une contrainte non saturée laisse une capacité inutilisée.
La valeur d'une unité supplémentaire de ressource saturée donne le prix maximal acceptable pour l'obtenir.
Facteur rare : classer les produits par marge par unité de facteur rare, pas par marge unitaire.
On satisfait les débouchés dans l'ordre du classement jusqu'à épuisement du facteur rare.
Les hypothèses (linéarité, certitude, divisibilité) sont des limites à citer.
Le simplexe est hors programme.

Pièges fréquents

Maximiser le chiffre d'affaires ou le résultat au lieu de la marge sur coût variable.
Classer par marge unitaire quand un facteur rare impose de classer par marge par unité de facteur rare.
Oublier une contrainte (par exemple le débouché maximal) ou le sens d'une inégalité.
Prendre le sommet de plus grand x ou y sans calculer la marge à chaque sommet.
Oublier de vérifier que le point trouvé respecte toutes les contraintes.
Confondre contrainte saturée et non saturée : seule une contrainte saturée a une valeur d'une unité supplémentaire non nulle.
Ajouter les charges fixes avant de choisir le programme : elles n'influencent pas le choix.
Utiliser le simplexe ou le présenter : hors programme UE 11.
Appliquer le coût d'opportunité sans limite de validité : il n'est vrai que tant qu'une autre contrainte ne devient pas saturée.

Q&R pour le tuteur IA

Q : Que maximise-t-on dans un programme de production ? R : La marge sur coût variable totale. Les charges fixes sont indépendantes du programme (dans la limite des capacités) : elles se retranchent après coup pour obtenir le résultat.

Q : Comment résout-on un programme linéaire à deux produits par la méthode graphique ? R : On traduit les contraintes en inéquations, on trace le polygone des solutions réalisables, on calcule les coordonnées de chaque sommet et la marge correspondante, puis on retient le sommet de marge maximale. On peut aussi déplacer la droite d'iso-marge parallèlement à elle-même.

Q : Que signifie qu'une contrainte est saturée ? R : Qu'elle est utilisée entièrement à l'optimum : la ressource correspondante limite le résultat. Une heure supplémentaire de cette ressource augmenterait la marge.

Q : Comment classer les produits avec un facteur rare ? R : Par marge sur coût variable par unité de facteur rare (par exemple par heure-machine), dans l'ordre décroissant. On produit dans cet ordre jusqu'à épuisement du facteur rare.

Q : Pourquoi ne pas classer par marge unitaire ? R : Parce qu'un produit à forte marge unitaire peut consommer beaucoup de facteur rare : son apport par unité de ressource limitée est alors plus faible. Dans le cas 2, le produit B a la plus forte marge unitaire mais C rapporte 20 € par heure contre 18 € pour B.

Q : Quelles sont les limites de la programmation linéaire ? R : Hypothèses de linéarité, de certitude et de divisibilité ; marges constantes ; prise en compte de la seule marge, sans effet sur l'image ou la clientèle ; méthode graphique limitée à deux produits. Le simplexe qui généralise la méthode n'est pas au programme.