Prévoir les ventes : corrélation, moindres carrés, ajustements exponentiel et puissance

À retenir

Cadre programme : DCG, programme 2025 (arrêté du 4 août 2025, première session 2027), UE 11 « Contrôle de gestion », partie 3 « Mettre en œuvre une démarche budgétaire pour piloter une organisation », sous-partie 3.2 « Mettre en œuvre les techniques prévisionnelles pour la gestion budgétaire ». Outils de prévisions commerciales au programme : corrélation linéaire, ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés, ajustement exponentiel, ajustement puissance (le traitement des variations saisonnières et le lissage exponentiel sont vus au cours 13). Les moyennes mobiles ne sont pas à traiter. Le prix psychologique n'est pas à calculer mais à interpréter.

Pourquoi c'est central à l'examen : le budget des ventes déclenche tous les autres budgets. L'épreuve écrite de 4 h demande de calculer une droite d'ajustement ou un ajustement transformé (coefficient de corrélation compris), de prévoir une valeur future puis de juger la fiabilité de la prévision et de conseiller le décideur : il faut donc maîtriser le calcul ET son interprétation.

01Pourquoi prévoir, et sur quoi s'appuyer

Une prévision commerciale estime les ventes futures à partir de données passées (série chronologique : une valeur par période) ou d'une variable explicative (prix, dépenses publicitaires, taille du marché). Elle est le point de départ du budget des ventes (cours 11).

Notion	Définition
Variable à expliquer (y)	Ce que l'on veut prévoir (ventes, demande)
Variable explicative (x)	Ce qui est censé l'expliquer (le temps, le prix, la publicité)
Ajustement	Recherche d'une courbe qui représente au mieux le nuage de points (x, y)
Extrapolation	Prolongement de la courbe hors de la période observée pour prévoir
Résidu	Écart entre la valeur observée et la valeur ajustée

Une prévision n'est pas un budget : c'est une estimation, que le budget transforme en objectif.

02La corrélation linéaire

Le coefficient de corrélation linéaire r mesure l'intensité de la liaison linéaire entre deux variables. Avec n observations :

moyennes : $\bar{x}$ = Σx / n et ȳ = Σy / n ;
variances : V(x) = Σx² / n - $\bar{x}$ ² et V(y) = Σy² / n - ȳ² ;
covariance : Cov(x, y) = Σxy / n - $\bar{x}$ · ȳ ;
r = Cov(x, y) / (σx · σy), avec σx = $\sqrt{V}$ (x) et σy = $\sqrt{V}$ (y).

Valeur de r	Lecture
Proche de +1	Forte liaison, les deux variables varient dans le même sens
Proche de -1	Forte liaison, elles varient en sens opposé
Proche de 0	Pas de liaison linéaire (une liaison non linéaire peut exister)

Le coefficient de détermination r² donne la part de la variance de y expliquée par l'ajustement (r² = 0,95 : 95 % de la variation des ventes est expliquée par le modèle). Corrélation n'est pas causalité : deux variables peuvent évoluer ensemble sans lien direct (ou à cause d'une troisième).

03L'ajustement linéaire par les moindres carrés

On cherche la droite y = a·x + b qui minimise la somme des carrés des résidus :

a = Cov(x, y) / V(x) (pente : variation de y quand x augmente de 1) ;
b = ȳ - a · $\bar{x}$ (ordonnée à l'origine).

La droite passe toujours par le point moyen ( $\bar{x}$ ; ȳ). Pour une série chronologique, on prend x = rang de la période (1, 2, 3, ...), ce qui donne la tendance (aussi appelée « trend »).

3.1 Utiliser la droite pour prévoir

On remplace x par le rang de la période à prévoir. La prévision n'est fiable que si la tendance continue : c'est une extrapolation, d'autant plus risquée que l'on s'éloigne de la période observée.

04L'ajustement exponentiel

Il convient lorsque les ventes croissent (ou décroissent) à un taux constant, non d'une quantité constante. Le modèle est y = k · q^x, où q = 1 + taux de croissance par période.

On se ramène à une droite par le logarithme népérien : ln y = x · ln q + ln k. Posons Y = ln y : on ajuste Y = A·x + B par les moindres carrés, puis :

q = e^A ;
k = e^B ;
le taux de croissance par période est q - 1.

05L'ajustement puissance

Il convient lorsque la variable y varie comme une puissance de x : y = k · x^α. On passe aux logarithmes des deux variables : ln y = α · ln x + ln k. On ajuste Y = α·X + B avec X = ln x et Y = ln y, puis k = e^B.

L'exposant α a une interprétation immédiate : c'est une élasticité constante (si x augmente de 1 %, y varie d'environ α %). Appliqué à la demande en fonction du prix, α est l'élasticité-prix de la demande (négative).

06Choisir et juger un ajustement

Critère	Lecture
Coefficient de corrélation de la droite ajustée (r ou r²)	Plus
Forme du nuage de points	Courbe croissante qui s'accélère : exponentiel ; courbe décroissante convexe : puissance
Résidus	Réguliers (+, -, +, -) : bon ; tous du même signe par plage : mauvais modèle
Cohérence économique	Un modèle exponentiel ne peut pas croître indéfiniment (saturation du marché)

Précautions :

comparer les r de deux modèles transformés (par exemple celui de y = a·x + b et celui de ln y = A·x + B) est une aide au choix, pas une preuve : les variables ne sont pas les mêmes ;
un excellent r sur 6 points ne garantit pas la prévision : environnement, concurrence, rupture ;
plus l'horizon est lointain, plus l'incertitude est grande.

07Le prix psychologique : à interpréter, pas à calculer

Le prix psychologique est le prix que le consommateur perçoit comme « normal » ou acceptable pour un produit. En dessous, il soupçonne une qualité médiocre ; au-dessus, il juge le produit trop cher. On le repère par des enquêtes (pourcentage de personnes jugeant chaque prix « trop cher » et « trop bon marché ») qui fournissent une zone d'acceptabilité. Le programme demande de lire et d'interpréter ces résultats, pas de les calculer.

Points d'interprétation à retenir :

la zone où la part de personnes ni opposées « trop cher » ni « trop bon marché » est la plus grande indique la fourchette de prix ;
des effets de seuil existent (9,90 € perçu nettement moins cher que 10,00 € ; prix « ronds » associés au haut de gamme) ;
le prix psychologique varie selon la cible, le canal et la marque : il complète une prévision, il ne la remplace pas ;
les résultats d'enquête sont déclaratifs : ce que disent les enquêtés n'est pas ce qu'ils achètent.

À retenir

Hors programme UE 11 : les moyennes mobiles ne sont pas à traiter.

08Intérêts et limites des techniques

Intérêts	Limites
Objectivité : une méthode reproductible plutôt qu'une intuition	Suppose que le futur ressemble au passé
Rapidité, peu de données nécessaires	Ignore les événements ponctuels (promotion, crise, nouveau concurrent)
Mesure de la qualité de l'ajustement (r)	Un bon r est compatible avec une mauvaise prévision hors période
Argument chiffré dans la négociation budgétaire	Le choix de la forme (linéaire, exponentielle, puissance) est en partie arbitraire

Exemples corrigés

Cas 1 : droite de tendance et prévision de ventes

Énoncé : les ventes annuelles d'un produit, en milliers d'unités, de N-5 à N sont : 118, 126, 131, 140, 147, 152. On pose x = 1 pour N-5 (donc x = 6 pour N). Calculer la droite de tendance par les moindres carrés, le coefficient de corrélation, et prévoir les ventes de N+1 et N+2.

Corrigé :

Année	x	y	x²	x·y	y²
N-5	1	118	1	118	13 924
N-4	2	126	4	252	15 876
N-3	3	131	9	393	17 161
N-2	4	140	16	560	19 600
N-1	5	147	25	735	21 609
N	6	152	36	912	23 104
Total	21	814	91	2 970	111 274

$\bar{x}$ = 21 / 6 = 3,5 ; ȳ = 814 / 6 = 135,667.
V(x) = 91 / 6 - 3,5² = 15,1667 - 12,25 = 2,9167.
Cov(x, y) = 2 970 / 6 - 3,5 × 135,667 = 495 - 474,833 = 20,1667.
a = 20,1667 / 2,9167 = 6,9143 ; b = 135,667 - 6,9143 × 3,5 = 111,4667.
Droite : y = 6,9143 x + 111,4667.
V(y) = 111 274 / 6 - 135,667² = 18 545,667 - 18 405,444 = 140,222 ; r = 20,1667 / $\sqrt{2,9167 × 140,222}$ = 20,1667 / 20,2233 = 0,9972 ; r² = 0,9944.

Valeurs ajustées et résidus :

x	y observé	y ajusté (6,9143x + 111,4667)	Résidu
1	118	118,38	-0,38
2	126	125,30	0,70
3	131	132,21	-1,21
4	140	139,12	0,88
5	147	146,04	0,96
6	152	152,95	-0,95

Les résidus sont petits et de signes alternés. La somme des résidus est nulle (aux arrondis près).

Prévisions : N+1 (x = 7) : 6,9143 × 7 + 111,4667 = 159,87 soit environ 159 900 unités ; N+2 (x = 8) : 6,9143 × 8 + 111,4667 = 166,78 soit environ 166 800 unités.

Analyse : la pente (6,9143) signifie que les ventes progressent en moyenne de 6 914 unités par an. Avec r = 0,9972, 99,4 % de la variation des ventes est expliquée par le temps : la tendance est quasi linéaire. La prévision de N+1 est crédible si le contexte reste stable ; celle de N+2 l'est moins (extrapolation plus lointaine).

Cas 2 : ajustement exponentiel contre ajustement linéaire

Énoncé : les ventes (en milliers d'euros) d'un produit récent sont, de N-5 à N : 40, 46, 53, 62, 71, 83. Comparer l'ajustement linéaire et l'ajustement exponentiel, puis prévoir les ventes de N+1.

Corrigé : l'ajustement linéaire donne (calculs identiques au cas 1) y = 8,5429 x + 29,2667 avec r = 0,9932.

Ajustement exponentiel : on pose Y = ln y.

x	y	Y = ln y	x·Y
1	40	3,6889	3,6889
2	46	3,8286	7,6572
3	53	3,9703	11,9109
4	62	4,1271	16,5084
5	71	4,2627	21,3135
6	83	4,4188	26,5128
Total
24,2964	87,5917

Ȳ = 24,2964 / 6 = 4,0494 ; $\bar{x}$ = 3,5 ; V(x) = 2,9167.
Cov(x, Y) = 87,5917 / 6 - 3,5 × 4,0494 = 14,5986 - 14,1729 = 0,4257.
A = 0,4257 / 2,9167 = 0,1460 (0,14597 avant arrondi) ; B = 4,0494 - 0,14597 × 3,5 = 3,5385.
q = e^0,1460 = 1,1572 (croissance de 15,7 % par an) ; k = e^3,5385 = 34,42.
Modèle : y = 34,42 × 1,1572^x.
Coefficient de corrélation de (x ; ln y) : r = 0,9998.

Comparaison des ajustements :

x	y observé	Linéaire	Exponentiel
1	40	37,8	39,8
2	46	46,4	46,1
3	53	54,9	53,3
4	62	63,4	61,7
5	71	72,0	71,4
6	83	80,5	82,6

Prévision pour N+1 (x = 7) : linéaire 8,5429 × 7 + 29,2667 = 89,1 ; exponentiel 34,42 × 1,1572^7 = 95,6 (ou e^(3,5385 + 0,1460 × 7) = e^4,5605 = 95,6).

Analyse : le modèle exponentiel colle mieux (résidus plus faibles, r de 0,9998 contre 0,9932) car la croissance se renforce : l'écart entre les deux prévisions (6,5 milliers d'euros, soit 7 %) n'est pas anodin pour un budget. Mais un produit récent ne croît pas à 15,7 % indéfiniment : la saturation du marché, le comportement des concurrents ou une fin de lancement peuvent infléchir la courbe. Conseil : retenir 95,6 comme hypothèse haute, 89,1 comme hypothèse basse, et budgéter entre les deux avec un suivi mensuel.

Cas 3 : ajustement puissance, demande et prix

Énoncé : une enseigne a observé les quantités vendues d'un article pour six prix de vente :

Prix p (€)	10	12	14	16	18	20
Quantité q	520	410	335	290	255	225

Ajuster q = k · p^α, interpréter α, et prévoir la demande pour p = 15 € et p = 22 €.

Corrigé : on pose X = ln p et Y = ln q.

p	q	X = ln p	Y = ln q	X·Y	X²	Y²
10	520	2,3026	6,2538	14,4000	5,3020	39,1100
12	410	2,4849	6,0162	14,9497	6,1747	36,1947
14	335	2,6391	5,8141	15,3440	6,9648	33,8038
16	290	2,7726	5,6699	15,7204	7,6873	32,1478
18	255	2,8904	5,5413	16,0166	8,3544	30,7060
20	225	2,9957	5,4161	16,2250	8,9742	29,3341
Total
16,0853	34,7114	92,6556	43,4575	201,2963

$\bar{X}$ = 2,6809 ; Ȳ = 5,7852.
Pour limiter les erreurs d'arrondi, on travaille avec les sommes des carrés des écarts : Sxx = ΣX² - (ΣX)² / 6 = 43,4575 - 16,0853² / 6 = 43,4575 - 43,1228 = 0,3347 ; Sxy = ΣXY - ΣX·ΣY / 6 = 92,6556 - 16,0853 × 34,7114 / 6 = 92,6556 - 93,0572 = -0,4016 ; Syy = ΣY² - (ΣY)² / 6 = 201,2963 - 200,8135 = 0,4828.
α = Sxy / Sxx = -0,4016 / 0,3347 = -1,200 ; ln k = 5,7852 + 1,200 × 2,6809 = 9,0024 (en gardant α non arrondi) donc k = e^9,0024 ≈ 8 122.
Modèle : q = 8 122 × p^(-1,2).
r (sur ln p et ln q) = Sxy / $\sqrt{Sxx · Syy}$ = -0,4016 / $\sqrt{0,3347 × 0,4828}$ ≈ -0,999 (un ajustement linéaire q = a·p + b donnerait r = -0,9664).

Contrôle : p = 10 : 8 122 × 10^-1,2 = 8 122 / 15,849 = 512 (observé 520) ; p = 20 : 8 122 / 36,41 = 223 (observé 225).

Prévisions : p = 15 € : q = 8 122 × 15^-1,2 = 315 ; p = 22 € : q = 8 122 × 22^-1,2 = 199.

Analyse : α = -1,2 est l'élasticité-prix constante : une hausse de 10 % du prix réduit la demande de 1,1^-1,2 - 1 = -10,8 %. Comme |α| > 1, la demande est élastique : le chiffre d'affaires (prix × quantité, proportionnel à p^-0,2) baisse quand le prix monte et augmente quand il baisse. Recommandation : ne pas augmenter le prix pour améliorer le chiffre d'affaires, sauf si la marge unitaire supplémentaire compense la perte de volume, ce qui est à vérifier avec le coût variable (cours de la partie coûts).

Cas 4 : interpréter un prix psychologique

Énoncé : une enquête auprès de 200 personnes sur un nouveau café en dosettes donne, pour chaque prix de la boîte, les pourcentages de personnes qui le jugent « trop cher », « trop bon marché (doute sur la qualité) » et acceptable. Le service marketing a fourni le tableau suivant ; il s'agit de l'interpréter.

Prix (€)	8	9	10	11	12
« Trop cher » (%)	5	12	30	62	88
« Trop bon marché » (%)	55	35	18	8	3
Prix acceptable (%)	40	53	52	30	9

Corrigé : la ligne « prix acceptable » est fournie par l'enquête ; le programme demande de la lire et de l'interpréter, pas de construire ni de calculer le prix psychologique.

Interprétation : le prix est acceptable pour plus de la moitié des enquêtés entre 9 et 10 € : c'est la zone de prix psychologique. À 8 €, plus d'une personne sur deux soupçonne un produit de moindre qualité : baisser le prix n'est pas une bonne stratégie. Au-delà de 10 €, la part de personnes jugeant le prix « trop cher » double (30 % puis 62 %) : un prix de 11 € fait perdre la majorité de la cible. Recommandation : 9,90 € (prix « cassé » sous le seuil de 10 €) ; en tenir compte dans le budget des ventes en combinant avec les techniques d'ajustement. Réserve : l'enquête est déclarative et porte sur 200 personnes : un test en point de vente est à prévoir.

Vocabulaire essentiel

Terme	Définition
Série chronologique	Suite de valeurs d'une variable observée à intervalles réguliers
Tendance (trend)	Évolution de fond d'une série, ici représentée par une droite ou une courbe d'ajustement
Moindres carrés	Méthode qui minimise la somme des carrés des écarts entre valeurs observées et ajustées
Coefficient de corrélation (r)	Mesure de l'intensité de la liaison linéaire entre deux variables, entre -1 et +1
Coefficient de détermination (r²)	Part de la variance de y expliquée par l'ajustement
Ajustement exponentiel	Modèle y = k·q^x, croissance à taux constant ; ajusté par ln y = A·x + B
Ajustement puissance	Modèle y = k·x^α ; ajusté par ln y = α·ln x + ln k
Extrapolation	Prévision au-delà de la période observée
Résidu	Différence entre valeur observée et valeur ajustée
Prix psychologique	Prix (ou fourchette) perçu comme acceptable par la clientèle

Points clés à retenir

La droite des moindres carrés est y = a·x + b avec a = Cov(x, y) / V(x) et b = ȳ - a· $\bar{x}$ .
r = Cov(x, y) / (σx · σy) ; plus |r| est proche de 1, plus la liaison linéaire est forte ; r² est la part de variance expliquée.
Corrélation n'est pas causalité, et un bon r ne garantit pas une bonne prévision.
Exponentiel : on ajuste ln y en fonction de x ; q = e^A, k = e^B, taux de croissance = q - 1.
Puissance : on ajuste ln y en fonction de ln x ; α est une élasticité constante.
Pour prévoir, on remplace x par le rang (ou la valeur) à prévoir ; l'extrapolation est d'autant plus risquée que l'horizon est lointain.
Pour choisir un modèle : forme du nuage, qualité de l'ajustement, résidus, cohérence économique.
Le prix psychologique s'interprète (zone d'acceptabilité, effets de seuil) ; il ne se calcule pas.
Les moyennes mobiles sont hors programme.
Dans l'écrit, donner la prévision, sa fiabilité et ses limites, puis une recommandation.

Pièges fréquents

Oublier de repasser aux valeurs d'origine après un ajustement exponentiel ou puissance : on prévoit ln y, il faut appliquer l'exponentielle.
Utiliser ln x pour un ajustement exponentiel (ou oublier ln x pour un ajustement puissance) : exponentiel = x brut ; puissance = ln x.
Confondre pente et ordonnée (a et b) ou inverser x et y.
Prendre r pour une preuve de causalité, ou conclure qu'une valeur de r proche de 0 prouve l'absence de lien (il peut exister un lien non linéaire).
Extrapoler très loin sans mentionner l'incertitude.
Calculer un prix psychologique : le programme demande seulement de l'interpréter.
Traiter les moyennes mobiles : elles sont hors programme.
Comparer deux r sans préciser qu'ils portent sur des variables différentes (y et ln y).
Mal numéroter x : on peut choisir x = 1 pour la première année, mais la prévision doit utiliser le même repère.

Q&R pour le tuteur IA

Q : Que fait la méthode des moindres carrés ? R : Elle détermine la droite (ou la courbe transformée) qui minimise la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées et les valeurs ajustées. Pour y = a·x + b : a = Cov(x, y) / V(x) et b = ȳ - a· $\bar{x}$ .

Q : Comment interpréter un coefficient de corrélation de 0,98 ? R : La liaison linéaire est très forte et positive : r² = 0,96, soit 96 % de la variation de y expliquée par x. Cela ne prouve ni une relation de cause à effet ni la fiabilité d'une prévision lointaine.

Q : Quand préférer un ajustement exponentiel à un ajustement linéaire ? R : Quand les ventes croissent à un taux à peu près constant (la variation absolue augmente d'une période à l'autre) et que le nuage de points est une courbe convexe. On vérifie par le coefficient de corrélation et les résidus, et on s'assure que la croissance peut raisonnablement se poursuivre.

Q : Comment réaliser un ajustement puissance ? R : On prend les logarithmes népériens des deux variables, on ajuste ln y = α·ln x + ln k par les moindres carrés, puis on calcule k = e^(ln k). L'exposant α est l'élasticité constante de y par rapport à x.

Q : Quel est le rôle du prix psychologique dans une prévision ? R : Il éclaire la fourchette de prix acceptable pour la clientèle et les effets de seuil (9,90 € contre 10 €). Il s'interprète à partir d'enquêtes et complète les techniques d'ajustement ; il n'est pas à calculer au programme.

Q : Les moyennes mobiles sont-elles au programme ? R : Non, elles sont explicitement exclues de l'UE 11. Le traitement des variations saisonnières se fait par la méthode des rapports à la tendance et la prévision à court terme par le lissage exponentiel (cours 13).