Prévoir en tenant compte de la saisonnalité : rapports à la tendance et lissage exponentiel

Exemples corrigés

Cas 1 : coefficients saisonniers par les rapports à la tendance et prévision de N+1

Énoncé : les ventes trimestrielles d'une entreprise (milliers d'euros) sont, sur trois ans :

Déterminer la tendance, les coefficients saisonniers, puis prévoir les ventes de chaque trimestre de N+1.

Corrigé :

Étape 1 : la tendance. On numérote les trimestres de 1 à 12. Σt = 78 ; Σy = 1 094 ; Σt·y = 7 733 ; Σt² = 650 ; Σy² = 107 696.

• $\bar{t}$ = 78 / 12 = 6,5 ; ȳ = 1 094 / 12 = 91,1667.
• V(t) = 650 / 12 - 6,5² = 54,1667 - 42,25 = 11,9167.
• Cov(t, y) = 7 733 / 12 - 6,5 × 91,1667 = 644,4167 - 592,5833 = 51,8333.
• a = 51,8333 / 11,9167 = 4,3497 ; b = 91,1667 - 4,3497 × 6,5 = 62,8936.
• Tendance : y = 4,3497 t + 62,8936 (r = 0,583 : le coefficient est modéré, car les fluctuations saisonnières masquent la pente ; la droite reste utile pour définir la tendance de référence).

Étapes 2 et 3 : valeurs de la tendance et rapports.

Étape 4 : coefficients bruts (moyenne des trois rapports de chaque trimestre).

Étape 5 : normalisation. La somme (4,0030) diffère légèrement de 4 : on multiplie chaque coefficient par 4 / 4,0030 = 0,99925.

(Somme = 4,0001 : écart d'arrondi.)

Étape 6 : prévision de N+1 (t = 13 à 16).

Analyse :

• Le T4 est le trimestre fort (25 % au-dessus de la tendance) et le T3 le trimestre faible (27 % en dessous) : le budget doit prévoir des capacités (stocks, personnel) en conséquence.
• Le total annuel prévu (504,05) est quasi identique à la somme des tendances (503,86), ce qui est normal : les coefficients corrigés ont pour moyenne 1.
• Séries désaisonnalisées de N (valeur / coefficient) : T1 118 / 1,1849 = 99,6 ; T2 88 / 0,8401 = 104,7 ; T3 80 / 0,7246 = 110,4 ; T4 145 / 1,2505 = 116,0. On lit une progression régulière d'environ 5 % par trimestre, ce que la série brute (T4 : 145, T1 suivant : prévision 141,52) laisserait croire à tort comme une baisse. Le passage de T4 à T1 N+1 (de 145 à 141,52) n'est donc pas un recul réel.
• Limite : coefficients calculés sur trois ans seulement, et tendance supposée linéaire.

Cas 2 : lissage exponentiel et choix du coefficient

Énoncé : la demande mensuelle d'un produit (en unités) sur huit mois est : 120, 132, 125, 140, 138, 151, 147, 160. On utilise le lissage exponentiel avec P_1 = R_1 = 120. Calculer les prévisions des mois 2 à 9 pour α = 0,2, 0,5 et 0,8, comparer les erreurs et conseiller le choix du coefficient.

Corrigé : P_(t+1) = α·R_t + (1 - α)·P_t.

Exemple de calcul pour α = 0,8 : P_2 = 0,8 × 120 + 0,2 × 120 = 120 ; P_3 = 0,8 × 132 + 0,2 × 120 = 105,6 + 24 = 129,6 ; P_4 = 0,8 × 125 + 0,2 × 129,6 = 100 + 25,92 = 125,92.

(Erreur = R_t - P_t ; valeurs arrondies à deux décimales.)

Mesure de l'erreur sur les mois 2 à 8 :

Analyse : les erreurs sont presque toutes positives : la demande croît, et la prévision lissée est systématiquement en retard, d'autant plus que α est faible. C'est la limite classique du lissage simple face à une tendance. α = 0,8 minimise l'erreur sur cette série : on peut le retenir pour le mois 9 (157 unités), mais en sachant qu'il reste inférieur à la dernière demande observée (160) alors que la tendance est à la hausse. Recommandation : budgéter autour de 157 à 160 unités, et compléter par une prévision de tendance (ajustement linéaire, cours 12) si la croissance doit se poursuivre. Un α élevé rend aussi la prévision plus nerveuse : une anomalie ponctuelle se répercute fortement.

Cas 3 : l'écrit pour conseiller le décideur

Énoncé : le directeur commercial hésite à budgéter le T1 de N+1 d'après le dernier trimestre (145 000 €) car « cela baisse en début d'année ». Rédiger une note de conseil à partir du cas 1.

Corrigé (exemple) :

À retenir

Objet : prévisions de ventes du 1er trimestre N+1.

Constat : la prévision de T1 N+1 est de 141,5 k€ contre 145 k€ réalisés en T4 N, soit environ -2,4 %. Les coefficients saisonniers (T4 : 1,2505 ; T1 : 1,1849) expliquent cette baisse apparente. Une fois désaisonnalisées, les ventes progressent d'environ 5 % par trimestre.

Analyse : il ne faut pas parler de recul. La saisonnalité est calculée sur trois années seulement ; la tendance est supposée linéaire.

Recommandation : budgéter le T1 à 141,5 k€ en prévoyant le stock et le personnel en conséquence ; réviser les coefficients dès qu'une quatrième année est disponible ; comparer chaque mois la réalisation à la prévision pour détecter un éventuel changement de saisonnalité.

Vocabulaire essentiel

Points clés à retenir

1. Modèle multiplicatif : observé = tendance × coefficient saisonnier × aléa.
2. Rapport à la tendance = valeur observée / valeur de la tendance ; coefficient brut = moyenne des rapports d'une même période.
3. La somme des coefficients doit valoir 4 (trimestres) ou 12 (mois) : sinon, normaliser en multipliant par (nombre de périodes / somme).
4. Prévision saisonnière = valeur de la tendance extrapolée × coefficient.
5. Désaisonnaliser = diviser la valeur observée par le coefficient : on lit alors l'évolution de fond.
6. Lissage exponentiel : P_(t+1) = α·R_t + (1 - α)·P_t, avec P_1 = R_1 sauf indication contraire.
7. α élevé : prévision réactive mais nerveuse ; α faible : prévision stable mais en retard.
8. Le lissage simple est en retard sur une tendance et ignore la saisonnalité.
9. Le meilleur α est celui qui minimise l'erreur de prévision sur le passé.
10. Dans l'écrit, expliquer l'effet saisonnier avant de conclure à une hausse ou à une baisse.

Pièges fréquents

1. Oublier de normaliser les coefficients (somme différente de 4 ou 12).
2. Mal numéroter t pour la prévision : le rang de la première période de N+1 est celui qui suit la dernière période observée.
3. Appliquer le coefficient à la mauvaise période (confondre T1 et T4 de N+1).
4. Faire la moyenne des valeurs au lieu de la moyenne des rapports : on moyenne les rapports à la tendance.
5. Confondre α et 1 - α dans la formule du lissage.
6. Oublier l'initialisation P_1 = R_1 ou l'appliquer à la mauvaise période.
7. Interpréter une baisse brute comme un recul sans corriger de la saisonnalité.
8. Traiter les moyennes mobiles : hors programme.
9. Conclure sans mentionner la limite du lissage simple face à une tendance.

Q&R pour le tuteur IA

Q : Comment calcule-t-on un coefficient saisonnier par la méthode des rapports à la tendance ? R : On ajuste d'abord la tendance par les moindres carrés, on calcule pour chaque période le rapport valeur observée / valeur de la tendance, puis on fait la moyenne des rapports de chaque trimestre (ou mois) sur les différentes années. Il faut ensuite normaliser pour que la somme des coefficients soit égale au nombre de périodes.

Q : Que signifie un coefficient saisonnier de 0,72 ? R : La période réalise en moyenne 72 % de la valeur de la tendance, soit 28 % de moins que la tendance : c'est une période basse.

Q : Comment prévoit-on une période de l'année suivante avec les coefficients ? R : On extrapole la droite de tendance au rang de la période (t = 13 pour le premier trimestre de l'année suivante après trois ans de trimestres) et on multiplie par le coefficient saisonnier de cette période.

Q : À quoi sert une série désaisonnalisée ? R : À repérer l'évolution réelle sans l'effet de la saison. Une baisse entre le dernier trimestre et le premier de l'année suivante peut être uniquement saisonnière.

Q : Comment fonctionne le lissage exponentiel ? R : La nouvelle prévision est P_(t+1) = α·R_t + (1 - α)·P_t, c'est-à-dire l'ancienne prévision corrigée de α fois l'erreur. Plus α est grand, plus la prévision suit la dernière réalisation.

Q : Quel est le principal défaut du lissage exponentiel simple ? R : Il est en retard sur une série en tendance (erreurs toujours du même signe) et ignore la saisonnalité. On le réserve au court terme sur des séries stables ou désaisonnalisées.