Annuités constantes, évaluation d'un actif et taux de rendement actuariel

À retenir

Cadre programme : DCG, programme 2025 (arrêté du 4 août 2025, première session 2027), UE 6 « Finance d'entreprise », partie 2 « Concevoir la politique d'investissement », sous-partie 2.1 « Appréhender la valeur et le temps ».

Pourquoi c'est central à l'examen : les annuités servent à calculer un emprunt, une épargne ou une redevance, et l'évaluation par actualisation des flux futurs est le fondement du cours des obligations, des actions et de la valeur d'un projet. Le taux de rendement actuariel est le même outil que le taux de rentabilité interne, vu du côté d'un titre.

01Les annuités constantes

1.1 Définition

Une suite d'annuités constantes est une série de versements égaux, notés a, effectués à intervalles réguliers (même si on les appelle « annuités », la période peut être le semestre ou le mois, à condition que le taux soit celui de la période). Le programme demande d'en connaître la définition et la détermination.

Deux conventions de date :

Convention	Premier versement	Cas fréquent
Fin de période (convention par défaut)	À la date 1	Remboursement d'emprunt, dividende, coupon
Début de période	À la date 0	Loyer payé d'avance, épargne versée en début d'année

Sauf mention contraire, les annuités sont de fin de période. Pour passer au début de période, on multiplie la valeur calculée en fin de période par (1 + t) (chaque versement est décalé d'une période de plus).

1.2 Valeur actuelle et valeur acquise

Pour n annuités constantes de fin de période, taux t par période :

Grandeur	Formule	Date de référence
Valeur actuelle V0	V0 = a × [1 − (1 + t)^−n] / t	Date 0, un an avant le premier versement
Valeur acquise Vn	Vn = a × [(1 + t)^n − 1] / t	Date n, au moment du dernier versement
Lien	Vn = V0 × (1 + t)^n

La valeur actuelle est la somme des versements actualisés ; la valeur acquise est la somme des versements capitalisés jusqu'au dernier. Ce sont deux photographies de la même suite, prises à deux dates.

02Les trois problèmes types

À partir d'une même formule, on peut chercher l'une des quatre grandeurs a, V0 (ou Vn), t, n, les trois autres étant connues.

2.1 Calculer l'annuité

Emprunt de capital C : a = C × t / [1 − (1 + t)^−n] (c'est V0 = C inversée).
Épargne visant un capital Vn : a = Vn × t / [(1 + t)^n − 1].

2.2 Calculer le capital (valeur actuelle ou acquise)

Appliquer directement les formules du tableau précédent : par exemple, le prix maximum que l'on peut payer aujourd'hui pour percevoir 6 annuités de 25 000 € à 5 % est V0 = 25 000 × [1 − 1,05^−6] / 0,05 = 126 892,30 €.

2.3 Calculer la durée

On isole (1 + t)^−n puis on utilise le logarithme :

Emprunt : n = − ln[1 − C × t / a] / ln(1 + t).
Épargne : n = ln[1 + Vn × t / a] / ln(1 + t).

Le résultat est en général non entier. En pratique, on retient le nombre entier d'annuités complètes puis on calcule une dernière annuité réduite (voir cas 1), ou on arrondit à l'entier supérieur en ajustant la dernière annuité.

2.4 Calculer le taux

Il n'existe pas de formule fermée pour t. On procède par encadrement et interpolation linéaire entre deux taux, ou à l'aide du tableur, selon la même logique que pour le taux de rentabilité interne (cours 17).

03Le tableau d'amortissement d'un emprunt à annuités constantes

Pour un emprunt de capital C remboursé par n annuités constantes de fin de période :

Colonne	Calcul
Capital restant dû en début de période	Capital de début, puis capital de la ligne précédente diminué de l'amortissement
Intérêts	Capital restant dû en début de période × t
Amortissement	Annuité − intérêts
Annuité	Constante : a
Capital restant dû en fin de période	Début − amortissement

Propriétés à connaître :

les intérêts décroissent (le capital restant dû diminue) et l'amortissement croît : chaque amortissement est celui de la période précédente multiplié par (1 + t) ;
la somme des amortissements est égale au capital emprunté ;
l'emprunt à annuités constantes coûte plus cher en intérêts qu'un emprunt à amortissements constants, parce que le capital est remboursé plus lentement au début (comparaison reprise au cours 21, qui traite aussi l'emprunt in fine et l'emprunt à amortissements constants, dont les annuités sont décroissantes).

04Évaluer un actif par actualisation de ses flux futurs

4.1 Le principe

La valeur d'un actif (financier ou industriel) est la valeur actuelle des flux qu'il procurera, actualisés au taux d'actualisation du marché ou du preneur de décision, qui reflète le risque de l'actif :

V0 = Σ F(k) / (1 + t)^k, pour k = 1 à n, plus éventuellement un flux terminal.

Plus le taux est élevé, plus la valeur est faible. Un actif est « bon marché » si son prix d'acquisition est inférieur à sa valeur actuelle.

4.2 L'obligation

Une obligation de valeur nominale N, remboursée in fine à l'échéance, avec un coupon annuel c = taux nominal × N, a pour valeur :

V0 = c × [1 − (1 + t)^−n] / t + N × (1 + t)^−n, où t est le taux de rendement exigé par le marché.

C'est la somme d'une suite d'annuités (les coupons) et d'un flux unique (le remboursement). Relation de position :

Situation	Relation entre t et taux nominal	Valeur par rapport au nominal
Obligation « au pair »	t = taux nominal	V0 = N
Obligation avec « décote »	t > taux nominal	V0 < N
Obligation avec « prime »	t < taux nominal	V0 > N

Exemple pour N = 1 000 €, coupon 4 %, 5 ans :

Taux de marché t	Valeur de l'obligation
3,0 %	1 045,80
4,0 %	1 000,00
4,5 %	978,05
5,0 %	956,71
6,0 %	915,75

Le prix baisse quand le taux de marché monte : c'est le sens du cours 23 sur les marchés financiers.

4.3 L'action à dividende constant

Une action versant indéfiniment un dividende D constant et exigeant un rendement Kc vaut :

P0 = D / Kc (perpétuité).

Exemple : D = 3,60 €, Kc = 8 % donne P0 = 45 €. Si l'exigence passe à 10 %, la valeur tombe à 36 €. Le cas du dividende en croissance régulière (modèle de Gordon-Shapiro) est traité au cours 20.

4.4 Limites de l'évaluation

La valeur dépend de trois hypothèses : les flux prévus, leur horizon, le taux. Un petit changement de taux peut modifier fortement la valeur d'un actif à long terme. L'énoncé fournit en général ces hypothèses ; il faut les critiquer dans la conclusion.

05Le taux de rendement actuariel

5.1 Définition

Le taux de rendement actuariel (TRA) d'un placement est le taux t qui égalise le prix payé aujourd'hui à la valeur actuelle des flux futurs :

Prix = Σ F(k) / (1 + t)^k.

Il mesure le rendement annuel global du titre, coupons et plus-value (ou moins-value) de remboursement inclus, sous l'hypothèse que chaque flux est réinvesti à ce même taux. Pour un projet industriel on parle de taux de rentabilité interne (cours 17).

5.2 Calcul pratique

Calculer la valeur du titre pour deux taux qui encadrent le prix (un taux donne une valeur supérieure au prix, l'autre une valeur inférieure).
Interpoler linéairement : t ≈ t1 + (t2 − t1) × (V1 − Prix) / (V1 − V2).
Contrôler en recalculant la valeur avec le taux trouvé.

5.3 Lecture

Le TRA se compare au taux de marché pour des titres de même risque et à la durée et au coût du capital de l'investisseur. Un TRA supérieur au taux exigé signale un titre sous-évalué.

Exemples corrigés

Cas 1 : financer un camion par un emprunt à annuités constantes

La société Delta emprunte 300 000 € à 4,5 % par an, remboursés par 8 annuités constantes de fin d'année.

Annuité : a = 300 000 × 0,045 / [1 − 1,045^−8] = 45 482,90 € (valeur arrondie au centime).

Tableau d'amortissement

Année	Capital début	Intérêts	Amortissement	Annuité	Capital fin
1	300 000,00	13 500,00	31 982,90	45 482,90	268 017,10
2	268 017,10	12 060,77	33 422,13	45 482,90	234 594,97
3	234 594,97	10 556,77	34 926,13	45 482,90	199 668,84
4	199 668,84	8 985,10	36 497,80	45 482,90	163 171,04
5	163 171,04	7 342,70	38 140,20	45 482,90	125 030,84
6	125 030,84	5 626,39	39 856,51	45 482,90	85 174,33
7	85 174,33	3 832,84	41 650,06	45 482,90	43 524,27
8	43 524,27	1 958,59	43 524,27	45 482,86	0,00
Total
63 863,16	300 000,00	363 863,16

Les intérêts sont arrondis au centime à chaque ligne ; la dernière annuité est ajustée de quatre centimes pour solder l'emprunt. Contrôles : somme des amortissements = 300 000 € ; le deuxième amortissement est 31 982,90 × 1,045 = 33 422,13 (à l'arrondi près) ; valeur actuelle des 8 annuités à 4,5 % = 300 000 €.

Si la société ne peut payer que 40 000 € par an : n = − ln[1 − 300 000 × 0,045 / 40 000] / ln(1,045) = 9,35 ans. Le remboursement demande 9 annuités complètes de 40 000 €, puis une dixième annuité réduite : le capital restant dû à la fin de l'année 9 est de 13 743,97 €, soit 14 362,45 € avec les intérêts de la dixième année.

À retenir

Écrit au décideur : « Monsieur le Directeur financier, pour un emprunt de 300 000 € à 4,5 % sur 8 ans, l'annuité est de 45 483 € et le coût total des intérêts de 63 863 €. Les premières années, 30 % de l'annuité part en intérêts, ce qui ralentit la baisse de l'endettement au début. Si votre capacité de remboursement est limitée à 40 000 € par an, il faudra prolonger l'emprunt de plus d'une année (10 échéances, la dernière de 14 362 €) : le coût total des intérêts augmente alors, mais la trésorerie annuelle est allégée de plus de 5 480 €. »

Cas 2 : constituer un capital par une épargne régulière

La société Epsilon veut disposer de 200 000 € dans 10 ans pour renouveler un équipement. Elle peut placer à 3 % par an, à intervalles annuels et en fin d'année.

Question	Calcul	Résultat
Annuité à verser pour atteindre 200 000 €	200 000 × 0,03 / (1,03^10 − 1)	17 446,10
Capital obtenu avec 12 000 € par an	12 000 × (1,03^10 − 1) / 0,03	137 566,55
Même épargne en début d'année	137 566,55 × 1,03	141 693,55
Durée avec 15 000 € par an	ln(1 + 200 000 × 0,03 / 15 000) / ln(1,03)	11,38 ans

Verser 17 446,10 € par an pendant 10 ans représente 174 461 € de versements : les intérêts apportent 25 539 €.

À retenir

Écrit au décideur : « Madame la Gérante, pour disposer de 200 000 € dans 10 ans, il faut mettre de côté 17 446 € par an, versés chaque fin d'année. Avec 12 000 € seulement, vous n'atteindrez que 137 567 € : l'écart est de 62 433 €. Si l'enveloppe annuelle est limitée à 15 000 €, l'objectif ne sera atteint qu'au bout de 11,4 ans, soit en pratique en année 12. Je recommande de réserver 17 500 € par an dès cette année, ou de décaler le renouvellement. »

Cas 3 : évaluer une obligation et une action

La société Zeta envisage d'acheter les titres suivants.

Obligation : nominal 1 000 €, coupon 4 %, remboursement in fine dans 5 ans. Le taux de marché pour ce risque est de 5 %.

Date	Flux	Facteur 1,05^−k	Valeur actuelle
1	40	0,9524	38,10
2	40	0,9070	36,28
3	40	0,8638	34,55
4	40	0,8227	32,91
5	1 040	0,7835	814,87
Total
	956,71

L'obligation vaut 956,71 € : elle est cotée avec une décote (taux de marché supérieur au taux nominal).

Action : dividende annuel constant de 3,60 €, rendement exigé 8 % : P0 = 3,60 / 0,08 = 45 €. Si le cours est de 52 €, l'action est surévaluée par rapport à ce modèle ; au cours de 40 €, elle serait sous-évaluée.

À retenir

Écrit au décideur : « Monsieur le Président, au taux de marché de 5 %, l'obligation vaut 956,71 € ; un achat à 960 € serait donc légèrement trop cher. Pour l'action, la valeur ressort à 45 € avec un dividende constant et un rendement exigé de 8 %. Cette valeur est très sensible au taux : à 10 %, elle tombe à 36 €. Avant d'acheter, confrontez ces valeurs aux cours cotés et à votre propre exigence de rentabilité. »

Cas 4 : quel rendement actuariel pour une obligation achetée 960 € ?

La société Zeta peut acheter, 960 €, l'obligation de nominal 1 000 €, coupon 4 %, remboursable in fine dans 5 ans.

Encadrement : la valeur à 4,5 % est de 978,05 € (supérieure à 960 €), celle à 5 % de 956,71 € (inférieure).

Interpolation : t = 4,5 % + 0,5 % × (978,05 − 960) / (978,05 − 956,71) = 4,5 % + 0,5 % × 0,8458 = 4,92 %.

Le taux exact est de 4,922 % (résolution par tableur) : l'interpolation donne un résultat suffisamment précis pour l'examen.

Interprétation : en payant 960 € pour 1 000 € de nominal, l'investisseur gagne les coupons (4 % du nominal) et une plus-value de 40 € au remboursement, soit un rendement global de 4,92 % par an, supérieur au taux nominal de 4 % mais inférieur au taux de marché de 5 % ci-dessus.

À retenir

Écrit au décideur : « Madame la Présidente, en payant 960 € cette obligation, vous obtenez un rendement actuariel de 4,92 % par an. Si votre taux d'exigence est de 5 % pour ce niveau de risque, le placement reste légèrement en dessous : il faudrait obtenir un prix inférieur à 956,71 € pour atteindre ce seuil. Si une alternative bancaire sans risque vous donne plus de 4,92 %, elle est préférable. »

Vocabulaire essentiel

Terme	Définition
Annuités constantes	Versements égaux à intervalles réguliers
Valeur actuelle d'une suite	Somme des versements actualisés à la date 0
Valeur acquise d'une suite	Somme des versements capitalisés à la date du dernier
Annuité de fin de période	Premier versement à la date 1 (convention par défaut)
Tableau d'amortissement	Décomposition de chaque annuité en intérêts et amortissement
Coupon	Intérêt annuel versé par une obligation (taux nominal × nominal)
Valeur nominale	Montant sur lequel est calculé le coupon et remboursé à l'échéance
Décote / prime	Prix inférieur / supérieur à la valeur nominale
Taux de rendement actuariel	Taux qui égalise le prix payé et la valeur actuelle des flux
Perpétuité	Suite de flux constants versés indéfiniment : valeur = flux / taux

Points clés à retenir

Annuités de fin de période : V0 = a × [1 − (1 + t)^−n] / t et Vn = a × [(1 + t)^n − 1] / t.
a = C × t / [1 − (1 + t)^−n] pour un emprunt ; la durée se trouve par logarithme et n'est en général pas entière.
Dans un emprunt à annuités constantes, les intérêts diminuent et l'amortissement augmente de (1 + t) chaque année.
La valeur d'un actif est la valeur actuelle de ses flux futurs au taux exigé.
Obligation : coupons (suite d'annuités) plus remboursement actualisé ; prix et taux varient en sens inverse.
Action à dividende constant : P0 = D / Kc.
Le TRA égalise prix et valeur actuelle des flux : on l'obtient par encadrement et interpolation.
Chaque résultat se conclut par une recommandation argumentée.

Pièges fréquents

Confondre annuités de début et de fin de période : le décalage est un facteur (1 + t).
Utiliser un taux annuel avec des versements mensuels sans convertir en taux équivalent mensuel.
Arrondir la durée à l'entier sans traiter la dernière annuité.
Calculer les intérêts d'un emprunt sur le capital initial chaque année au lieu du capital restant dû.
Oublier le remboursement dans la valeur d'une obligation (il se cumule aux coupons de la dernière année).
Inverser la lecture prix-taux : quand le taux de marché monte, la valeur de l'obligation baisse.
Interpoler avec deux taux qui n'encadrent pas le prix : le résultat est alors extrapolé et faux.
Appliquer P0 = D / Kc à un dividende en croissance : il faut alors le modèle de Gordon-Shapiro (cours 20).

Q&R pour le tuteur IA

Q : Comment calcule-t-on l'annuité constante d'un emprunt de 300 000 € à 4,5 % sur 8 ans ? R : a = C × t / [1 − (1 + t)^−n] = 300 000 × 0,045 / [1 − 1,045^−8] = 45 482,90 €. La première année, les intérêts sont de 13 500 € et l'amortissement de 31 982,90 €.

Q : Pourquoi l'amortissement augmente-t-il dans un emprunt à annuités constantes ? R : L'annuité est fixe. Les intérêts baissent à mesure que le capital restant dû diminue, donc la part qui rembourse le capital augmente. Chaque amortissement vaut celui de l'année précédente multiplié par (1 + t).

Q : Quelle est la valeur d'une obligation de nominal 1 000 €, coupon 4 %, 5 ans, quand le taux de marché est de 5 % ? R : 956,71 €, somme des coupons de 40 € actualisés (soit 173,18 €) et du remboursement de 1 000 € actualisé (783,53 €). Elle est inférieure au nominal car le taux de marché dépasse le taux nominal.

Q : Qu'est-ce que le taux de rendement actuariel ? R : C'est le taux d'actualisation pour lequel la valeur actuelle des flux d'un titre égale son prix d'achat. Il mesure le rendement annuel global (coupons et plus-value) sous l'hypothèse d'un réinvestissement au même taux.

Q : Que vaut une action qui verse 3,60 € de dividende constant avec un rendement exigé de 8 % ? R : P0 = D / Kc = 3,60 / 0,08 = 45 €. Le cas d'un dividende en croissance relève du modèle de Gordon-Shapiro (cours 20).

Q : Comment trouve-t-on la durée d'un emprunt quand l'annuité est imposée ? R : Par logarithme : n = − ln[1 − C × t / a] / ln(1 + t). Avec 300 000 €, 4,5 % et 40 000 € par an, on obtient 9,35 ans, soit 9 annuités complètes plus une annuité finale réduite de 14 362,45 € à la fin de l'année 10.