Valeur et temps : intérêts, capitalisation, actualisation, taux nominal et réel

À retenir

Cadre programme : DCG, programme 2025 (arrêté du 4 août 2025, première session 2027), UE 6 « Finance d'entreprise », partie 2 « Concevoir la politique d'investissement », sous-partie 2.1 « Appréhender la valeur et le temps ».

Pourquoi c'est central à l'examen : toute la partie investissement et toute la partie financement reposent sur un seul geste, comparer des sommes situées à des dates différentes. Les erreurs de conversion de taux (proportionnel au lieu d'équivalent) et de confusion entre taux nominal et taux réel coûtent des points dans presque chaque situation pratique de l'écrit de 3 h.

01Pourquoi une somme n'a pas la même valeur selon sa date

Cent euros disponibles aujourd'hui valent plus que cent euros disponibles dans un an. Trois raisons se cumulent :

Raison	Explication
Coût d'opportunité	La somme disponible aujourd'hui peut être placée ou utilisée pour rembourser une dette : elle rapporte quelque chose
Inflation	Le pouvoir d'achat d'une somme nominale baisse quand les prix montent
Risque	Une somme promise pour plus tard peut ne jamais être versée en totalité

Comparer deux sommes à des dates différentes impose donc de les ramener à une même date. Deux opérations sont possibles :

la capitalisation : on projette une somme vers le futur, on obtient une valeur future (ou valeur acquise) ;
l'actualisation : on ramène une somme future à aujourd'hui, on obtient une valeur présente (ou valeur actuelle).

À retenir

Le programme limite l'étude au temps discret : les dates sont des fins de périodes (années, semestres, mois). Le temps continu n'est pas cité : hors programme UE 6.

Notations du cours

Symbole	Sens
C0	Capital initial (valeur présente)
Cn	Valeur acquise au bout de n périodes (valeur future)
t	Taux d'intérêt par période, écrit en décimal (5 % = 0,05)
n	Nombre de périodes
I	Intérêts

Sur un axe du temps, la date 0 est « aujourd'hui », la date 1 la fin de la première période, et ainsi de suite. Un flux perçu à la date n est un flux de fin de période n.

02Les intérêts simples

2.1 Définition

En intérêts simples, les intérêts sont calculés chaque période sur le capital initial seulement : ils ne produisent pas eux-mêmes d'intérêts.

Intérêts : I = C0 × t × n (n en années si t est un taux annuel).
Valeur acquise : Cn = C0 × (1 + t × n).

Pour une durée exprimée en jours, on utilise l'année bancaire de 360 jours (usage) : I = C0 × t × j / 360.

2.2 Quand les utilise-t-on ?

Principalement pour les opérations de court terme, d'un an au plus (escompte, avance, découvert, placement à quelques mois). La suite du programme (cours 26) y revient pour les coûts de financement de trésorerie.

2.3 Une propriété à retenir

La valeur acquise croît linéairement avec la durée : chaque année ajoute le même montant d'intérêts. La courbe est une droite.

03Les intérêts composés

3.1 Capitalisation

En intérêts composés, les intérêts d'une période sont ajoutés au capital et produisent à leur tour des intérêts les périodes suivantes. Chaque période multiplie le capital par (1 + t) :

Cn = C0 × (1 + t)^n.

(1 + t)^n est le coefficient de capitalisation. La courbe est exponentielle : l'écart avec les intérêts simples s'élargit avec la durée.

3.2 Actualisation

L'actualisation est l'opération inverse. Pour ramener à la date 0 une somme Cn disponible à la date n :

C0 = Cn × (1 + t)^−n.

(1 + t)^−n est le coefficient d'actualisation et t joue alors le rôle de taux d'actualisation. Il traduit l'exigence de rentabilité de celui qui compare : taux de placement possible, coût du financement, rentabilité exigée.

3.3 Comparaison simple et composé à taux identique (t = 3,5 %)

Durée n	Coefficient simple 1 + 0,035 × n	Coefficient composé 1,035^n
1 an	1,0350	1,0350
2 ans	1,0700	1,0712
5 ans	1,1750	1,1877
10 ans	1,3500	1,4106

À taux égal, les deux systèmes coïncident à une période et le composé domine dès que la durée dépasse une période. Pour une durée inférieure à la période du taux, c'est l'inverse (1,0175 en simple pour une demi-année contre 1,0173 en composé).

3.4 Relation valeur et taux d'actualisation

La valeur présente est une fonction décroissante du taux d'actualisation : plus l'exigence de rentabilité est forte, moins une somme lointaine « vaut » aujourd'hui. Exemple pour 10 000 € reçus dans 10 ans :

Taux d'actualisation	Valeur présente	Valeur future de 10 000 € placés 10 ans
2 %	8 203,48	12 189,94
4 %	6 755,64	14 802,44
6 %	5 583,95	17 908,48
8 %	4 631,93	21 589,25
10 %	3 855,43	25 937,42

Cette sensibilité explique pourquoi le choix du taux (cours 16 et 22) est aussi important que le calcul des flux : un projet qui rapporte tard est fragile quand le taux monte.

04Taux proportionnels et taux équivalents

Un taux est toujours attaché à une période. Quand la période de capitalisation diffère de celle du taux annoncé, deux conversions existent.

4.1 Le taux proportionnel

On divise le taux annuel par le nombre de périodes de l'année :

tm = ta / 12 (mensuel) ; ts = ta / 2 (semestriel).

Il convient aux intérêts simples. Appliqué en composé, il change le rendement réel : 1 % par mois ne vaut pas 12 % par an.

4.2 Le taux équivalent

Deux taux sont équivalents s'ils conduisent à la même valeur acquise sur une même durée, en composé :

(1 + ta) = (1 + tm)^12, d'où tm = (1 + ta)^(1/12) − 1 ;
pour le semestre : ts = (1 + ta)^(1/2) − 1.

4.3 Illustrations

Taux annuel	Proportionnel mensuel	Équivalent mensuel	Équivalent semestriel
6 %	0,5000 %	0,4868 %	2,9563 %
8 %	0,6667 %	0,6434 %	3,9230 %

Sens inverse : un taux mensuel de 1 % correspond à un taux annuel équivalent de 1,01^12 − 1 = 12,68 %, supérieur au taux proportionnel de 12 %.

À retenir

Règle d'examen : en composé, convertir avec le taux équivalent ; en simple, avec le taux proportionnel. Le sujet précise presque toujours le régime ; en cas de silence sur des flux annuels actualisés, on est en composé.

05Taux nominal et taux réel : le contexte inflationniste

5.1 La relation de Fisher

Le taux nominal est celui affiché (le « taux du contrat »). Le taux réel mesure le gain en pouvoir d'achat, une fois l'inflation déduite. Avec un taux d'inflation noté π :

(1 + i nominal) = (1 + i réel) × (1 + π), d'où i réel = (1 + i nominal) / (1 + π) − 1.

L'approximation additive i réel ≈ i nominal − π est acceptable pour des taux faibles, mais l'énoncé demande en général la relation exacte.

Exemple : nominal 4,2 %, inflation 2,0 % : i réel = 1,042 / 1,02 − 1 = 2,157 % (et non 2,2 %).

5.2 Cohérence nominal et réel dans l'actualisation

En période d'inflation, deux méthodes équivalentes s'offrent à vous :

Méthode	Flux	Taux d'actualisation
Euros courants (nominaux)	Flux en euros de chaque année, inflation incluse	Taux nominal
Euros constants (réels)	Flux exprimés en euros de la date 0	Taux réel

Mélanger les deux (flux courants actualisés au taux réel, ou l'inverse) fausse la décision : on surévalue ou sous-évalue la valeur du projet. Un flux est dit « constant » quand on lui a retiré l'effet de l'inflation : Fc(n) = Fn / (1 + π)^n.

06Méthode de résolution d'un exercice

Tracer l'axe du temps : dates, flux, date de comparaison.
Identifier le régime (simple ou composé) et la période du taux.
Convertir le taux si la période de capitalisation diffère (équivalent en composé).
Choisir : valeur acquise (on projette) ou valeur présente (on ramène à 0).
Contrôler l'ordre de grandeur : une valeur acquise doit dépasser le capital, une valeur présente doit lui être inférieure.
Conclure en une phrase pour le décideur.

Exemples corrigés

Cas 1 : placer 80 000 € en intérêts simples ou composés

La société Lumière dispose de 80 000 € qu'elle n'utilisera pas avant 4 ans. Deux banques proposent :

offre A : intérêts simples à 3,5 % par an, versés à l'échéance ;
offre B : intérêts composés à 3,2 % par an.

Offre A

Calcul	Résultat
Intérêts : 80 000 × 0,035 × 4	11 200,00
Valeur acquise : 80 000 + 11 200	91 200,00
Taux composé équivalent : (91 200 / 80 000)^(1/4) − 1	3,33 % par an

Offre B

Calcul	Résultat
Valeur acquise : 80 000 × 1,032^4	90 742,09
Intérêts : 90 742,09 − 80 000	10 742,09

L'offre A rapporte 457,91 € de plus sur 4 ans. Sur une durée plus longue, le classement s'inverse : le coefficient composé 1,032^n dépasse le coefficient simple 1 + 0,035 × n à partir de 7 ans (1,2467 contre 1,2450), et sur 10 ans il vaut 1,3702 contre 1,3500.

À retenir

Écrit au décideur : « Monsieur le Gérant, pour un placement de 4 ans, retenez l'offre A : elle apporte 91 200 € contre 90 742 € avec l'offre B, soit environ 458 € de plus. Son rendement annuel équivalent en capitalisation est de 3,33 %, supérieur aux 3,2 % de l'offre B. Attention : si votre horizon dépasse 7 ans, l'offre B devient plus avantageuse parce que ses intérêts s'ajoutent au capital. »

Cas 2 : taux mensuel ou taux annuel, laquelle des deux offres de crédit ?

La société Cobalt cherche un crédit de trésorerie. La banque Nord annonce 0,8 % par mois capitalisé mensuellement, la banque Sud annonce 9,8 % par an.

Offre	Taux annuel équivalent	Calcul
Nord	10,03 %	1,008^12 − 1
Sud	9,80 %	donné
Taux mensuel équivalent de l'offre Sud	0,7821 %	1,098^(1/12) − 1

Le taux proportionnel de l'offre Nord (0,8 × 12 = 9,6 %) est trompeur : il paraît inférieur à 9,8 %, alors que le taux équivalent est de 10,03 %.

À retenir

Écrit au décideur : « Madame la Directrice financière, comparez ces offres en taux annuel équivalent. L'offre Nord revient à 10,03 % l'an en capitalisation mensuelle, l'offre Sud à 9,80 %. Retenez l'offre Sud, qui coûte 0,23 point de moins ; l'impression inverse vient d'une comparaison faite avec un taux proportionnel (9,6 %), qui sous-estime le coût réel de l'offre Nord. »

Cas 3 : un placement à 4,2 % rapporte-t-il vraiment ?

Le dirigeant de la société Ambre place 50 000 € pendant 5 ans à 4,2 % nominal par an (composé). L'inflation attendue est de 2,0 % par an.

Calcul	Résultat
Valeur acquise nominale : 50 000 × 1,042^5	61 419,83
Taux réel : 1,042 / 1,02 − 1	2,157 %
Valeur acquise en euros constants : 61 419,83 / 1,02^5	55 629,83
Contrôle : 50 000 × (1,042 / 1,02)^5	55 629,83
Gain de pouvoir d'achat : 55 629,83 − 50 000	5 629,83

Le gain nominal est de 11 419,83 €, mais la moitié environ disparaît avec l'inflation : le gain réel n'est que de 5 629,83 €.

À retenir

Écrit au décideur : « Monsieur le Dirigeant, ce placement vous versera 61 420 € dans 5 ans, mais ces euros auront perdu environ 9 % de pouvoir d'achat. En euros d'aujourd'hui, vous disposerez de 55 630 €, soit un gain réel de 5 630 € et un rendement réel de 2,16 % par an. Le placement est donc utile, mais il ne vous enrichit que modestement ; comparez-le aux autres usages possibles de ces fonds. »

Cas 4 : payer comptant ou accepter un règlement différé

Un client propose à la société Opale deux modalités pour une vente : 120 000 € immédiatement ou 135 000 € dans 3 ans. Opale actualise à 5,5 %, taux qui reflète son coût de financement.

Modalité	Valeur présente
Paiement immédiat	120 000,00
Paiement différé : 135 000 × 1,055^−3	114 967,84
Écart en faveur du paiement immédiat	5 032,16

Le taux d'indifférence est le taux pour lequel les deux modalités s'équivalent : (135 000 / 120 000)^(1/3) − 1 = 4,00 %. Tant que le coût d'actualisation est supérieur à 4 %, le paiement immédiat est préférable.

À retenir

Écrit au décideur : « Monsieur le Directeur, le règlement de 135 000 € dans 3 ans équivaut aujourd'hui à 114 968 € au taux de 5,5 %. Le paiement immédiat de 120 000 € est donc meilleur de plus de 5 000 €. Le différé ne serait intéressant que si votre coût d'actualisation passait sous 4 %. Je vous recommande d'accepter le paiement immédiat. »

Vocabulaire essentiel

Terme	Définition
Valeur présente (ou actuelle)	Valeur aujourd'hui d'une somme à recevoir ou à payer plus tard
Valeur future (ou acquise)	Valeur à une date ultérieure d'une somme placée aujourd'hui
Capitalisation	Projection d'une somme vers le futur
Actualisation	Ramener une somme future à la date 0
Taux d'actualisation	Taux utilisé pour actualiser, exigence de rentabilité
Intérêts simples	Intérêts calculés sur le seul capital initial
Intérêts composés	Intérêts ajoutés au capital et rémunérés ensuite
Taux proportionnel	Taux annuel divisé par le nombre de périodes, adapté au simple
Taux équivalent	Taux de période qui donne le même résultat annuel en composé
Taux nominal / taux réel	Taux affiché / taux corrigé de l'inflation
Relation de Fisher	(1 + nominal) = (1 + réel) × (1 + inflation)
Taux d'indifférence	Taux pour lequel deux options ont la même valeur

Points clés à retenir

Une somme se compare à une date unique : on capitalise ou on actualise.
Intérêts simples : I = C0 × t × n ; intérêts composés : Cn = C0 × (1 + t)^n.
Actualisation : C0 = Cn × (1 + t)^−n, fonction décroissante du taux.
En composé, on convertit un taux avec le taux équivalent ; en simple, avec le taux proportionnel.
Fisher : (1 + nominal) = (1 + réel) × (1 + inflation) ; l'approximation soustractive n'est qu'un ordre de grandeur.
En contexte inflationniste, flux courants avec taux nominal, flux constants avec taux réel.
Le temps continu n'est pas au programme.
Toute réponse se termine par une conclusion argumentée pour le décideur.

Pièges fréquents

Utiliser le taux proportionnel en composé : 1 % par mois ne fait pas 12 % par an, mais 12,68 %.
Oublier la conversion de période quand les flux sont semestriels ou mensuels et le taux annuel.
Mélanger flux courants et taux réel (ou l'inverse), ce qui fausse toute la valeur.
Soustraire l'inflation au lieu d'appliquer Fisher quand l'énoncé donne des taux élevés ou demande l'exactitude.
Compter n dans la mauvaise unité : 18 mois valent 1,5 an, pas 18 années.
Actualiser vers le futur (multiplier au lieu de diviser) : contrôler que la valeur présente est inférieure à la valeur future.
Retenir la meilleure offre sur le taux annoncé sans le ramener à une base annuelle équivalente.
Ne pas conclure : le programme demande un argumentaire, pas seulement un résultat.

Q&R pour le tuteur IA

Q : Quelle est la différence entre taux proportionnel et taux équivalent ? R : Le taux proportionnel divise simplement le taux annuel par le nombre de périodes (6 % par an donne 0,5 % par mois) et convient aux intérêts simples. Le taux équivalent est tel que la capitalisation sur la période redonne exactement le taux annuel : (1 + ta) = (1 + tm)^12. Pour 6 %, il vaut 0,4868 % par mois.

Q : Que vaut aujourd'hui 10 000 € reçus dans 10 ans, au taux de 6 % ? R : 10 000 × 1,06^−10 = 5 583,95 €. À 4 %, la valeur présente monte à 6 755,64 € : plus le taux est élevé, plus la valeur présente est faible.

Q : Comment passer d'un taux nominal de 4,2 % à un taux réel avec 2 % d'inflation ? R : Avec la relation de Fisher : taux réel = 1,042 / 1,02 − 1 = 2,157 %. L'approximation 4,2 − 2 = 2,2 % est un peu supérieure.

Q : À partir de quelle durée les intérêts composés dépassent-ils les intérêts simples à taux égal ? R : Dès que la durée dépasse une période du taux (une année pour un taux annuel). À une période les deux sont identiques ; en dessous, les intérêts simples sont plus élevés. Avec deux taux différents, comme dans le cas 1 (3,5 % simple et 3,2 % composé), le croisement dépend des taux : il intervient ici à 7 ans.

Q : Pourquoi actualise-t-on avec un taux nominal quand les flux sont en euros courants ? R : Parce que le taux nominal contient déjà l'inflation, tout comme les flux courants. Les deux grandeurs sont alors cohérentes. Si les flux sont en euros constants (inflation retirée), il faut un taux réel.

Q : Le temps continu (exponentielle) fait-il partie du programme ? R : Non. Le programme de l'UE 6 se limite à la capitalisation et à l'actualisation en temps discret.