Chapitre 5 — Équations différentielles

Programme officiel — BO du 25 juillet 2019, équations différentielles linéaires d'ordre 1 à coefficients constants.

Probabilité 2026 : ⭐⭐ — Sous-testé (2 apparitions sur 8 sessions). Mais quand il tombe, c'est l'exercice principal. Chapitre court, à ne pas sacrifier.

Cadrage du chapitre

Une équation différentielle est une équation reliant une fonction inconnue $y$ à ses dérivées. Au programme de terminale spécialité, on étudie uniquement les équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants :

$y' = ay + b$

où $a, b$ sont des constantes réelles et $y$ est une fonction de la variable $x$ (ou $t$ en physique).

Trois cas à connaître :

1. $y' = ay$ (équation homogène)
2. $y' = b$ (équation avec second membre constant)
3. $y' = ay + b$ (équation générale)

Résolution de $y' = ay$

Théorème : les solutions de $y' = ay$ sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions : $y(x) = C \cdot e^{ax}, \quad C \in \mathbb{R}$

Démonstration intuitive : on cherche $y$ telle que $y' = ay$. La fonction $e^{ax}$ vérifie $(e^{ax})' = a \cdot e^{ax}$. Toute solution est donc proportionnelle à $e^{ax}$.

Résolution de $y' = ay + b$

Théorème : les solutions de $y' = ay + b$ (avec $a \neq 0$) sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions : $y(x) = C \cdot e^{ax} - \frac{b}{a}, \quad C \in \mathbb{R}$

Méthode de résolution en 3 étapes :

1. Solution particulière constante : chercher $y_0 = k$ constante. Alors $y_0' = 0$, et l'équation devient $0 = ak + b$, donc $k = -\frac{b}{a}$.

2. Solution générale homogène : résoudre $y' = ay$. Solutions : $y = C \cdot e^{ax}$.

3. Solution générale = particulière + homogène : $y(x) = C \cdot e^{ax} - \frac{b}{a}$.

Condition initiale

Quand on impose une condition initiale $y(x_0) = y_0$, on peut déterminer la constante $C$ :

$y_0 = C \cdot e^{a x_0} - \frac{b}{a} \implies C = \left(y_0 + \frac{b}{a}\right) e^{-a x_0}$

La solution est alors unique.

Exemples résolus

Exemple 1 : $y' = 2y$ avec $y(0) = 3$

Solutions générales : $y(x) = C \cdot e^{2x}$.

Condition initiale : $y(0) = 3$, donc $C \cdot e^0 = 3$, soit $C = 3$.

Solution unique : $y(x) = 3 e^{2x}$.

Exemple 2 : $y' = -y + 4$ avec $y(0) = 6$

Solution particulière : $y_0 = -\frac{4}{-1} = 4$.

Solution homogène : $y_h = C e^{-x}$.

Solution générale : $y(x) = C e^{-x} + 4$.

Condition initiale : $y(0) = C + 4 = 6$, donc $C = 2$.

Solution unique : $y(x) = 2 e^{-x} + 4$.

Exemple 3 : Modèle de Newton (refroidissement)

Un objet à température $T(t)$ dans un milieu à température $T_{ext} = 20°C$ vérifie : $T'(t) = -k(T(t) - T_{ext}) = -k T(t) + k T_{ext}$

Soit $T'(t) = -k T(t) + 20k$ (avec $a = -k$ et $b = 20k$).

Solution : $T(t) = C e^{-kt} + 20$. Avec $T(0) = T_0$ : $C = T_0 - 20$. Donc $T(t) = (T_0 - 20) e^{-kt} + 20$.

Quand $t \to +\infty$, $T(t) \to 20$ (l'objet atteint la température du milieu).

Lien avec les suites (cas typique au bac)

Au bac, les équations différentielles sont souvent couplées à une suite $(u_n)$ définie par $u_n = y(n)$ pour la solution $y$ trouvée.

Exemple typique (annale 2024 J1) :

Soit $y' = -2y + 4$ avec $y(0) = 1$.

1. Résoudre l'équation différentielle.
2. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $u_n = y(n)$. Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

Solution :

1. $y(x) = C e^{-2x} + 2$ avec $y(0) = C + 2 = 1$, donc $C = -1$. Solution : $y(x) = -e^{-2x} + 2$.
2. $u_n = -e^{-2n} + 2$. Or $\lim_{n \to +\infty} e^{-2n} = 0$, donc $\lim u_n = 2$.

Exercice-type avec corrigé complet

Énoncé

On considère l'équation différentielle $(E) : y' = 3y - 6$.

1. Déterminer la solution constante de $(E)$.
2. Résoudre $(E)$ sur $\mathbb{R}$.
3. Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant $f(0) = 5$.
4. Étudier les variations de $f$ et déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

Corrigé

1. Solution constante : $y_0 = -\frac{-6}{3} = 2$.

2. Solution homogène de $y' = 3y$ : $y_h = C e^{3x}$. Solution générale : $y(x) = C e^{3x} + 2$ avec $C \in \mathbb{R}$.

3. $f(0) = C + 2 = 5$, donc $C = 3$. Solution : $f(x) = 3 e^{3x} + 2$.

4. $f'(x) = 9 e^{3x} > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Donc $f$ est strictement croissante. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim 3 e^{3x} + 2 = +\infty$.

Pièges classiques à éviter

1. Oublier le signe de $a$ dans $e^{ax}$. Si $a < 0$, $e^{ax}$ décroît vers 0 en $+\infty$. Si $a > 0$, $e^{ax}$ croît vers $+\infty$. Le comportement asymptotique en dépend.

2. Oublier le $-\frac{b}{a}$ dans la solution générale. C'est l'erreur la plus fréquente. Toujours vérifier en injectant la solution dans $(E)$.

3. Confondre "solution particulière" et "solution unique". Une "solution particulière" est une fonction qui vérifie $(E)$, parmi une infinité. Une "solution unique" requiert une condition initiale.

4. Erreurs de signe. Pour $y' = -2y + 4$ : $a = -2$, $b = 4$. Solution particulière : $-\frac{4}{-2} = 2$. Vérifier en injectant : $0 = -2 \cdot 2 + 4 = 0$. ✓

5. Oublier que la solution est définie sur $\mathbb{R}$. Toujours préciser le domaine de définition de $y$ (sauf indication contraire, c'est $\mathbb{R}$).

Annales 2022-2025 connectées

• 2024 J1 Ex 1 : Équation différentielle $y' = ay + b$ + étude d'une suite associée. C'est l'exemple-type.
• 2022 J1 Ex 1 : Modèle exponentiel d'évolution médicamenteuse (équation différentielle implicite).

Bilan : 2 apparitions sur 4 sessions. Chapitre court (1 à 2 cours typiquement), à maîtriser pour ne pas perdre 5 points si l'exercice tombe.

Q&R pour le tuteur IA

Q : Comment résoudre $y' = ay + b$ rapidement ? R : Méthode en 3 étapes : (1) solution constante particulière $y_0 = -\frac{b}{a}$, (2) solution homogène $y_h = C e^{ax}$, (3) solution générale $y = y_h + y_0 = C e^{ax} - \frac{b}{a}$.

Q : Pourquoi la solution est-elle unique quand on a une condition initiale ? R : C'est le théorème de Cauchy-Lipschitz (admis en terminale) : pour une équation $y' = f(x, y)$ "régulière", il existe une unique solution passant par un point donné $(x_0, y_0)$. Pour $y' = ay + b$, la régularité est garantie.

Q : Comment vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle ? R : Calculer $y'$ et $ay + b$, puis vérifier qu'ils sont égaux pour tout $x$.

Q : L'équation différentielle peut-elle avoir plusieurs solutions sans condition initiale ? R : Oui : sans condition initiale, on a une famille infinie de solutions paramétrée par $C \in \mathbb{R}$. C'est la "solution générale".