Chapitre 4 — Primitives et intégrales

Programme officiel — BO du 25 juillet 2019.

Probabilité 2026 : ⭐⭐⭐ — Apparaît dans 3 sujets sur 8 comme exercice principal, mais quasi systématique en sous-question d'un exercice de fonction (ln, exp).

Primitives

Définition

Une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$ .

Théorème fondamental : si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ , alors toutes les primitives de $f$ sur $I$ sont de la forme $F(x) + C$ avec $C \in \mathbb{R}$ .

Primitives usuelles à connaître par cœur

$f(x)$	$F(x)$ (à constante additive près)
$k$ (constante)	$kx$
$x^n$ ( $n \neq -1$ )	$\frac{x^{n+1}}{n+1}$
$\frac{1}{x}$	$\ln
$\frac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x}$
$e^x$	$e^x$
$e^{ax+b}$	$\frac{1}{a} e^{ax+b}$
$\cos(x)$	$\sin(x)$
$\sin(x)$	$-\cos(x)$

Primitives par identification (méthode pratique)

Si $f$ est de la forme	Alors une primitive est
$u' \cdot u^n$ ( $n \neq -1$ )	$\frac{u^{n+1}}{n+1}$
$\frac{u'}{u}$ ( $u > 0$ )	$\ln(u)$
$u' \cdot e^u$	$e^u$
$\frac{u'}{\sqrt{u}}$ ( $u > 0$ )	$2\sqrt{u}$
$\frac{u'}{u^2}$	$-\frac{1}{u}$

Exemples :

$f(x) = 2x \cdot (x^2 + 1)^3$ → identifier $u = x^2 + 1$ , $u' = 2x$ , $n = 3$ . Primitive : $\frac{(x^2 + 1)^4}{4}$ .
$f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ → identifier $u = x^2 + 1$ , $u' = 2x$ . Primitive : $\ln(x^2 + 1)$ .
$f(x) = 3 e^{3x + 2}$ → identifier $u = 3x + 2$ , $u' = 3$ . Primitive : $e^{3x + 2}$ .

Intégrales

Définition

Pour $f$ continue sur $[a, b]$ , l'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est : $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$ où $F$ est n'importe quelle primitive de $f$ (la constante s'annule).

Propriétés essentielles

$\int_a^a f(x) \, dx = 0$

$\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx \quad (\text{inversion des bornes})$

$\int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx \quad (\text{Chasles})$

$\int_a^b [f(x) + g(x)] \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx \quad (\text{linéarité})$

$\int_a^b k \cdot f(x) \, dx = k \int_a^b f(x) \, dx$

Positivité et croissance

Si $f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$ (avec $a \leq b$ ), alors $\int_a^b f(x) \, dx \geq 0$ .
Si $f(x) \leq g(x)$ sur $[a, b]$ , alors $\int_a^b f \leq \int_a^b g$ .

Valeur moyenne

La valeur moyenne de $f$ sur $[a, b]$ est : $\mu = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \, dx$

Interprétation : hauteur du rectangle de base $[a, b]$ ayant la même aire que l'aire sous la courbe.

Aire entre deux courbes

L'aire entre deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur $[a, b]$ (avec $f \geq g$ sur cet intervalle) est : $\mathcal{A} = \int_a^b [f(x) - g(x)] \, dx$

Toujours en unités d'aire (u.a.) si le repère est unitaire.

Intégration par parties (IPP)

Programme : enseignée mais évaluation rare. Utile pour des intégrales du type $\int x e^x \, dx$ ou $\int x \ln(x) \, dx$ .

Formule : pour $u$ et $v$ dérivables sur $[a, b]$ avec $u'$ et $v'$ continues : $\int_a^b u'(x) v(x) \, dx = [u(x) v(x)]_a^b - \int_a^b u(x) v'(x) \, dx$

Choix de $u'$ et $v$ : choisir $v$ de sorte que $v'$ soit plus simple que $v$ (typiquement $v = \ln$ , $v = x$ , $v = x^2$ ).

Exercice-type avec corrigé

Énoncé

Soit $f(x) = (2x + 1) e^x$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Déterminer une primitive de $f$ par identification.
Calculer $I = \int_0^1 f(x) \, dx$ .
Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[0, 1]$ .

Corrigé

1. Observons que $f(x) = (2x + 1) e^x$ . Cherchons $F$ de la forme $(ax + b) e^x$ . $F'(x) = a e^x + (ax + b) e^x = (ax + a + b) e^x$ . On veut $F'(x) = (2x + 1) e^x$ . Donc $a = 2$ et $a + b = 1$ , soit $b = -1$ . Donc $F(x) = (2x - 1) e^x$ .

2. $I = F(1) - F(0) = (2 \cdot 1 - 1) e^1 - (2 \cdot 0 - 1) e^0 = e - (-1) = e + 1 \approx 3{,}718$ .

3. Valeur moyenne sur $[0, 1]$ : $\mu = \frac{1}{1 - 0} \int_0^1 f(x) \, dx = e + 1 \approx 3{,}718$ .

Pièges classiques à éviter

Oublier la constante d'intégration $C$ pour les primitives. Pour les intégrales définies $\int_a^b$ la constante s'annule, mais pour donner "une primitive", on l'oublie souvent (le bac le tolère).
Confondre $\frac{1}{n+1} u^{n+1}$ et la dérivée. Ne pas oublier de diviser par $n+1$ (puisqu'on intègre, pas qu'on dérive).
Mal identifier $u'$ . Pour $\int \frac{2x}{x^2 + 1} dx$ , l'identification est $u = x^2 + 1$ et $u' = 2x$ . Bien vérifier que le numérateur est exactement la dérivée du dénominateur (à un facteur constant près).
Oublier la condition $n \neq -1$ pour la primitive de $x^n$ . Pour $n = -1$ (donc $f(x) = \frac{1}{x}$ ), la primitive est $\ln|x|$ , pas $\frac{x^0}{0}$ (impossible).
Erreurs de signe pour la dérivée de $\cos$ . $(\cos)' = -\sin$ , donc une primitive de $\sin$ est $-\cos$ .

Annales 2022-2025 connectées

2024 J1 Ex 4 : Calcul d'intégrale d'une fonction avec $\ln$ .
2024 J2 Ex 4 : Aire sous une courbe, calcul d'intégrale.
2025 J1 Ex 2 : Calcul d'intégrale (sous-question).
Apparition systématique en sous-question dans tous les exercices de fonction.

Q&R pour le tuteur IA

Q : Comment trouver une primitive de $\frac{1}{2x + 3}$ ? R : Identifier $u = 2x + 3$ , $u' = 2$ . On a $f(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{u'}{u}$ . Primitive : $\frac{1}{2} \ln|2x + 3|$ .

Q : Pourquoi le calcul d'intégrale donne l'aire sous la courbe ? R : Pour $f \geq 0$ continue sur $[a, b]$ , $\int_a^b f(x) dx$ est par définition l'aire (en unités d'aire) du domaine sous $\mathcal{C}_f$ et au-dessus de l'axe des abscisses, entre $x = a$ et $x = b$ . Si $f < 0$ , l'intégrale donne l'opposé de l'aire.

Q : Quand utiliser l'intégration par parties ? R : Quand l'intégrande est un produit où une dérivée simplifie (typiquement $\ln$ , $x$ , $x^2$ ). Au bac maths spé, c'est très rare en exercice principal — surtout vu en sous-question.

Q : Comment vérifier qu'on a trouvé la bonne primitive ? R : Dériver $F$ et vérifier qu'on retrouve $f$ . C'est le test n°1, à faire systématiquement.