Chapitre 6 — Géométrie dans l'espace

Programme officiel — BO du 25 juillet 2019.

Probabilité 2026 (analyse Innovaweb) : ⭐⭐⭐⭐⭐ — Très élevée. Apparaît dans 7 sujets sur 8 Métropole 2022-2025. Format souvent VRAI/FAUX depuis 2024. Incontournable.

Cadrage du chapitre

On travaille dans un repère orthonormé direct $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de l'espace. Tout point $M$ est caractérisé par ses coordonnées $(x; y; z)$.

Objets étudiés :

• Vecteurs dans l'espace (somme, produit par un scalaire, produit scalaire)
• Droites (représentations paramétriques)
• Plans (équations cartésiennes, vecteur normal)
• Distances et angles (produit scalaire, projection orthogonale)

Vecteurs dans l'espace

Coordonnées et opérations

Pour $\vec{u}(x; y; z)$ et $\vec{v}(x'; y'; z')$ :

$\vec{u} + \vec{v} = (x + x'; y + y'; z + z')$ $\lambda \vec{u} = (\lambda x; \lambda y; \lambda z)$ $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$

Norme d'un vecteur

$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Distance entre deux points : $AB = \|\vec{AB}\| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.

Colinéarité

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\vec{v} = \lambda \vec{u}$ (ou si $\vec{u} = \vec{0}$).

Critère pratique : si $\vec{u}(x; y; z)$ et $\vec{v}(x'; y'; z')$ avec $\vec{u} \neq \vec{0}$, ils sont colinéaires ssi $\frac{x'}{x} = \frac{y'}{y} = \frac{z'}{z}$ (rapport identique, à vérifier composante par composante).

Produit scalaire

Définition (expression analytique)

$\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y' + z z'$

Propriétés

• $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ (symétrie)
• $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ (linéarité)
• $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$ (carré scalaire)
• $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos(\vec{u}, \vec{v})$ (interprétation géométrique)

Orthogonalité

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux ssi $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Application clé : pour montrer que deux droites sont perpendiculaires ou qu'un vecteur est normal à un plan, calculer un produit scalaire et vérifier qu'il vaut 0.

Droites dans l'espace

Représentation paramétrique

Une droite $(d)$ passant par $A(x_A; y_A; z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a; b; c)$ admet la représentation paramétrique :

$\begin{cases} x = x_A + t \cdot a \\ y = y_A + t \cdot b \\ z = z_A + t \cdot c \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$

Pour vérifier qu'un point $M(x_M; y_M; z_M)$ appartient à $(d)$ : résoudre le système (3 équations, 1 inconnue $t$). Si le système admet une solution, $M \in (d)$.

Positions relatives de deux droites

Pour deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ de vecteurs directeurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ :

Méthode : (1) vérifier colinéarité des directeurs, (2) chercher un point commun en résolvant un système.

Plans dans l'espace

Vecteur normal et équation cartésienne

Un plan $(P)$ est caractérisé par un point $A$ et un vecteur normal $\vec{n}(a; b; c)$ (perpendiculaire au plan).

Équation cartésienne : $ax + by + cz + d = 0$ où $d = -(a x_A + b y_A + c z_A)$.

Le triplet $(a; b; c)$ donne directement un vecteur normal au plan.

Exemple : équation $2x - 3y + z - 5 = 0$. Vecteur normal : $\vec{n}(2; -3; 1)$.

Plan défini par 3 points non alignés

Pour $A$, $B$, $C$ non alignés :

1. Calculer $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
2. Trouver $\vec{n}$ orthogonal à $\vec{AB}$ ET à $\vec{AC}$ (deux produits scalaires nuls). Résolution d'un système.
3. Écrire l'équation cartésienne avec $\vec{n}$ et $A$.

Distance d'un point à un plan

Pour $M(x_M; y_M; z_M)$ et plan $(P) : ax + by + cz + d = 0$ :

$d(M, P) = \frac{|a x_M + b y_M + c z_M + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Au programme mais peu testé. Plus fréquent : projeté orthogonal de $M$ sur $(P)$.

Intersections

Droite et plan

Soit $(d)$ une droite et $(P)$ un plan.

• Si $\vec{u}$ (directeur de $d$) est orthogonal à $\vec{n}$ (normal à $P$) : $(d) \parallel (P)$ ou $(d) \subset (P)$.
• Sinon : $(d)$ et $(P)$ sont sécants en un unique point.

Méthode pour trouver l'intersection : substituer la représentation paramétrique de $(d)$ dans l'équation cartésienne de $(P)$, résoudre pour trouver $t$, puis calculer les coordonnées du point d'intersection.

Deux plans

Deux plans $(P_1)$ et $(P_2)$ de vecteurs normaux $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ :

• Parallèles (confondus ou strictement) : $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ colinéaires.
• Sécants : $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ non colinéaires. L'intersection est une droite.

Exercice-type avec corrigé (format bac VRAI/FAUX)

Énoncé (inspiré bac 2024)

Dans un repère orthonormé direct, on donne $A(1; 2; 0)$, $B(3; -1; 2)$, $C(0; 1; 4)$ et la droite $(d)$ de représentation paramétrique : $\begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 + 2t \\ z = 3 - t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$

Pour chaque affirmation, indiquer VRAI ou FAUX et justifier.

1. Le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées $(2; -3; 2)$.
2. Le point $D(3; 1; 2)$ appartient à $(d)$.
3. Les droites $(AB)$ et $(d)$ sont parallèles.
4. Le plan $(P) : 2x + y + z - 5 = 0$ contient le point $A$.

Corrigé

1. VRAI. $\vec{AB} = (3 - 1; -1 - 2; 2 - 0) = (2; -3; 2)$. ✓

2. FAUX. On résout : $\begin{cases} 3 = 2 + t \\ 1 = -1 + 2t \\ 2 = 3 - t \end{cases}$. La 1re donne $t = 1$, la 2e donne $t = 1$, la 3e donne $t = 1$. Toutes cohérentes... attendez, recalculons : pour $t = 1$, $z = 3 - 1 = 2$. ✓ Donc VRAI : $D \in (d)$.

3. Vecteur directeur de $(AB)$ : $\vec{AB}(2; -3; 2)$. Vecteur directeur de $(d)$ : $\vec{u}(1; 2; -1)$. Vérification colinéarité : $\frac{2}{1} = 2$, $\frac{-3}{2} = -1{,}5$. Rapports différents → non colinéaires → droites non parallèles. FAUX.

4. $2 \cdot 1 + 2 + 0 - 5 = 2 + 2 - 5 = -1 \neq 0$. Donc $A \notin (P)$. FAUX.

Pièges classiques à éviter

1. Confondre vecteur directeur (droite) et vecteur normal (plan). Directeur = parallèle. Normal = perpendiculaire. Erreur fréquente.

2. Mauvaise écriture de la représentation paramétrique. Toujours commencer par le point de passage et ajouter $t \cdot \vec{u}$. Ne pas oublier $t \in \mathbb{R}$.

3. Confondre "non coplanaires" et "non parallèles". Deux droites non coplanaires sont nécessairement non parallèles, mais l'inverse est faux : deux droites sécantes sont coplanaires (dans le plan défini par leur point d'intersection et leurs directions).

4. Oublier de vérifier l'unicité de t pour appartenance à une droite. Quand on cherche si $M \in (d)$, le même $t$ doit satisfaire les trois équations. Sinon, $M \notin (d)$.

5. Erreurs de signe dans l'équation cartésienne. Si $\vec{n}(a; b; c)$ est normal et $A(x_A; y_A; z_A)$ appartient au plan : équation = $a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$, à développer ensuite.

Annales 2022-2025 connectées

• 2022 J1 Ex 2 : Géométrie dans l'espace (vecteur, produit scalaire, équation cartésienne de plan, longueur).
• 2023 J2 Ex 3 : Géométrie dans l'espace.
• 2024 J1 Ex 3 : Géométrie (vecteur normal, équation cartésienne, paramétrique, volume tétraèdre).
• 2025 J1 Ex 3 : Géométrie VRAI/FAUX (représentation paramétrique, coplanarité).
• 2025 J2 Ex 2 : Géométrie (droites sécantes, vecteur normal, équation cartésienne).

Bilan : 7 apparitions sur 8 sessions (la seule absence étant 2023 J1). Format de plus en plus en VRAI/FAUX depuis 2024 (plus rapide à corriger). À maîtriser absolument.

Q&R pour le tuteur IA

Q : Comment trouver l'équation cartésienne d'un plan passant par 3 points $A$, $B$, $C$ ? R : Méthode en 3 étapes : (1) calculer $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, (2) trouver $\vec{n}(a; b; c)$ tel que $\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0$ ET $\vec{n} \cdot \vec{AC} = 0$ (système 2 équations, 3 inconnues, fixer une composante), (3) écrire $a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$ et développer.

Q : Comment montrer que deux droites sont coplanaires ? R : Deux conditions équivalentes : (a) leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (alors elles sont parallèles, donc coplanaires), OU (b) elles sont sécantes (alors elles définissent un plan). Si aucune des deux n'est vraie, elles sont non coplanaires.

Q : Comment calculer le volume d'un tétraèdre ? R : Formule au programme : $V = \frac{1}{3} \cdot \mathcal{A}_{base} \cdot h$, où $\mathcal{A}_{base}$ est l'aire de la base (souvent un triangle) et $h$ la hauteur (distance du sommet opposé au plan de base).

Q : Que signifie "deux droites perpendiculaires" et "deux droites orthogonales" ? R : Orthogonales : leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux ($\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$), mais elles peuvent ne pas se couper. Perpendiculaires : elles sont orthogonales ET sécantes (donc elles se coupent à angle droit). Toute paire de droites perpendiculaires est orthogonale, mais l'inverse est faux.