Chapitre 8 — Variables aléatoires et loi binomiale

Programme officiel — BO du 25 juillet 2019.

Probabilité 2026 (analyse Innovaweb) : ⭐⭐⭐⭐⭐ — Très élevée. La loi binomiale apparaît dans 8 sessions sur 8 Métropole 2022-2025, couplée aux probas conditionnelles dans l'exercice 1. Loi des grands nombres : 1 apparition sur 8.

Variable aléatoire (rappels et notations)

Définition

Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui à chaque résultat d'une expérience aléatoire associe un nombre réel.

Loi de probabilité de $X$ : tableau ou formule donnant $P(X = k)$ pour chaque valeur $k$ possible.

Espérance et variance

Pour $X$ prenant les valeurs $x_1, x_2, ..., x_n$ avec probabilités $p_1, p_2, ..., p_n$ :

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i$

$V(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot p_i = E(X^2) - E(X)^2$

Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

Propriétés (linéarité de l'espérance)

Pour $a, b$ constantes : $E(aX + b) = a E(X) + b$ $V(aX + b) = a^2 V(X)$ $\sigma(aX + b) = |a| \cdot \sigma(X)$

Somme de variables aléatoires : $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ (toujours vrai). $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ seulement si $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Loi binomiale

Définition

Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues : "succès" (probabilité $p$) ou "échec" (probabilité $1 - p$).

Un schéma de Bernoulli est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de succès dans le schéma de Bernoulli. Alors $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $X \sim \mathcal{B}(n, p)$.

Formule fondamentale

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k}, \quad k \in \{0, 1, ..., n\}$

Avec $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ (coefficient binomial, calculé à la calculatrice via la touche nCk).

Espérance et variance

$E(X) = np \qquad V(X) = np(1-p) \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$

Calculs typiques au bac

Probabilité d'avoir exactement $k$ succès

Utiliser directement la formule : $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$, à calculer à la calculatrice.

Probabilités cumulées

$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} P(X = i)$ $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)$ $P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a - 1)$

À la calculatrice : fonction binomFRép(n, p, k) pour $P(X \leq k)$.

Probabilité d'au moins un succès

$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^n$

Formule très fréquente au bac.

Loi des grands nombres et inégalité de concentration

Loi (faible) des grands nombres

Soit $X_1, X_2, ..., X_n$ une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi, d'espérance $\mu$. On note $M_n = \frac{X_1 + ... + X_n}{n}$ (moyenne empirique).

Théorème : pour tout $\varepsilon > 0$, $P(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$

Autrement dit : la moyenne empirique converge en probabilité vers la moyenne théorique. C'est la justification mathématique de la fréquence statistique.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Pour toute variable aléatoire $X$ d'espérance $\mu$ et variance $\sigma^2$ finies, pour tout $\varepsilon > 0$ :

$P(|X - \mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$

Usage typique : majorer la probabilité qu'une moyenne empirique s'écarte de $\mu$ de plus de $\varepsilon$. Donne un encadrement non optimal mais universel.

Inégalité de concentration

Pour $M_n$ moyenne empirique : $P(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{n \varepsilon^2}$

À mémoriser tel quel. Permet de répondre à : "Combien d'expériences $n$ faut-il pour que la moyenne empirique s'écarte de $\mu$ de moins de $\varepsilon$ avec probabilité $\geq 0{,}95$ ?"

Réponse : $n \geq \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2 \cdot 0{,}05} = \frac{20 \sigma^2}{\varepsilon^2}$.

Exercice-type avec corrigé (probas + binomiale)

Énoncé

Dans une fabrication, 4 % des produits sont défectueux. Un contrôleur prélève un échantillon de 50 produits au hasard. On note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de produits défectueux dans l'échantillon.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale, en précisant ses paramètres.
2. Calculer $P(X = 0)$, $P(X = 2)$, et $P(X \leq 3)$.
3. Calculer l'espérance et l'écart-type de $X$.
4. Quelle est la probabilité que l'échantillon contienne au moins un produit défectueux ?

Corrigé

1. Chaque prélèvement est une épreuve de Bernoulli (défectueux ou non, probabilité $p = 0{,}04$). 50 prélèvements sont identiques et on suppose indépendants (échantillon supposé sans remise mais effectif négligeable devant la population totale, hypothèse standard au bac). Donc $X \sim \mathcal{B}(50; 0{,}04)$.

2. $P(X = 0) = (1 - 0{,}04)^{50} = 0{,}96^{50} \approx 0{,}130$. $P(X = 2) = \binom{50}{2} \cdot 0{,}04^2 \cdot 0{,}96^{48} \approx 0{,}276$. $P(X \leq 3) = \sum_{k=0}^{3} P(X = k) \approx 0{,}861$ (calcul à la calculatrice via binomFRép(50; 0,04; 3)).

3. $E(X) = np = 50 \cdot 0{,}04 = 2$. $V(X) = np(1-p) = 2 \cdot 0{,}96 = 1{,}92$. $\sigma(X) = \sqrt{1{,}92} \approx 1{,}386$.

4. $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) \approx 1 - 0{,}130 = 0{,}870$.

Pièges classiques à éviter

1. Confondre $P(X = k)$ et $P(X \leq k)$. Toujours vérifier la formulation : "exactement $k$" vs "au plus $k$" vs "au moins $k$".

2. Oublier l'indépendance pour appliquer la binomiale. Si les tirages sont sans remise dans une petite population, ce n'est plus une loi binomiale (mais hypergéométrique, hors programme). À justifier en disant "on assimile à une loi binomiale (effectif négligeable)".

3. Erreurs de calcul à la calculatrice. Bien distinguer binomFRép(n, p, k) ($P(X \leq k)$) de binomPdf(n, p, k) ($P(X = k)$). Lire le manuel de la calculatrice.

4. Espérance vs Médiane. $E(X)$ est la moyenne théorique, pas la valeur la plus probable. Pour $X \sim \mathcal{B}(50; 0{,}04)$, $E(X) = 2$ mais la valeur la plus probable peut être 1 ou 2 selon la dispersion.

5. Oublier que la binomiale est définie sur $\{0, 1, ..., n\}$. $P(X > n) = 0$ automatiquement.

Annales 2022-2025 connectées

• 2022 J1 Ex 1 : Loi binomiale (modèle médicament).
• 2022 J2 Ex 1 : Probas + binomiale.
• 2023 J1 Ex 1 : Binomiale en QCM.
• 2023 J2 Ex 1 : Probas + binomiale.
• 2024 J1 Ex 2 : Probas conditionnelles + binomiale.
• 2024 J2 Ex 1 : Probas + binomiale.
• 2025 J1 Ex 1 : Binomiale (groupes sanguins).
• 2025 J2 Ex 1 : Binomiale (centre multisports).

Bilan : 8/8 = 100 %. À maîtriser parfaitement. Inégalité de concentration : présence très rare en exercice principal mais formellement au programme.

Q&R pour le tuteur IA

Q : Comment savoir si une variable aléatoire suit une loi binomiale ? R : Trois conditions à vérifier : (1) répétition d'une même expérience $n$ fois, (2) chaque expérience est une épreuve de Bernoulli (deux issues), (3) les expériences sont indépendantes entre elles. Si les 3 conditions sont remplies, et que $X$ compte le nombre de succès, alors $X \sim \mathcal{B}(n, p)$.

Q : Comment calculer $\binom{n}{k}$ ? R : À la calculatrice : touche nCk (TI), Math > Prob > nCr (Numworks), OPTN > PROB > nCr (Casio). Sinon : $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, calculable à la main pour de petits $n$.

Q : Pourquoi $V(X+Y) \neq V(X) + V(Y)$ en général ? R : Cette égalité n'est vraie que si $X$ et $Y$ sont indépendantes. Sinon, il faut ajouter un terme de covariance (hors programme). En général au bac, on travaille avec des variables indépendantes (épreuves de Bernoulli répétées), donc la somme des variances est valide.

Q : Comment utiliser l'inégalité de concentration ? R : Pour répondre à des questions du type : "Combien de répétitions faut-il pour que la moyenne empirique s'approche de l'espérance à $\varepsilon$ près avec probabilité $\geq 1 - \alpha$ ?". Formule : $P(|M_n - \mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{n \varepsilon^2}$. Imposer ce majorant $\leq \alpha$ donne $n \geq \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2 \alpha}$.