Chapitre 7 — Probabilités conditionnelles et indépendance

Q: Quand utiliser la formule de Bayes ?

Quand on veut **renverser** un conditionnement : on connaît $P_A(B)$, on cherche $P_B(A)$. Typiquement pour des questions du type "sachant que [conséquence], quelle est la probabilité de [cause] ?".

À retenir

Programme officiel — BO du 25 juillet 2019.

Probabilité 2026 (analyse Innovaweb) : ⭐⭐⭐⭐⭐ — Quasi-certitude. Apparaît dans 8 sessions sur 8 Métropole 2022-2025, presque toujours en exercice 1 et couplé à la loi binomiale. L'exercice le plus stable du bac maths spé.

Cadrage du chapitre

Les probabilités conditionnelles étudient comment la connaissance d'un événement modifie la probabilité d'un autre. Trois outils centraux :

L'arbre pondéré : visualisation graphique des probabilités.
Les formules de probabilités (totales, Bayes, conditionnelles).
L'indépendance : cas particulier où la connaissance ne change rien.

Probabilité conditionnelle

Définition

Soit $A$ et $B$ deux événements d'un univers $\Omega$ tels que $P(A) > 0$ . La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ est :

$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Notation : $P_A(B)$ ou $P(B | A)$ .

Interprétation : si on sait que $A$ est réalisé, quelle est la probabilité que $B$ le soit aussi ?

Formules de calcul

À partir de la définition, on déduit :

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B) = P(B) \cdot P_B(A)$

(Symétrique : on peut conditionner par $A$ ou par $B$ .)

Arbre pondéré

L'arbre pondéré est la représentation graphique standard pour les exercices de probas conditionnelles au bac.

Règles de construction

Les branches du premier niveau représentent des événements et leur probabilité (somme = 1).
Les branches partant d'un nœud sont conditionnelles à l'événement de ce nœud. Leur somme vaut 1.
La probabilité d'un chemin = produit des probabilités le long du chemin.
La probabilité d'un événement = somme des probabilités des chemins qui y mènent.

Exemple visuel

Considérons une urne avec 2 types de boules (A et B) et un événement E.

        P(A)  ──── P_A(E)  → P(A ∩ E) = P(A) × P_A(E)
       /
      *
       \
        P(B)  ──── P_B(E)  → P(B ∩ E) = P(B) × P_B(E)

$P(E) = P(A \cap E) + P(B \cap E) = P(A) \cdot P_A(E) + P(B) \cdot P_B(E)$ (formule des probabilités totales)

Formule des probabilités totales

Si $A_1, A_2, ..., A_n$ forment une partition de $\Omega$ (événements deux à deux disjoints, dont l'union fait $\Omega$ ), alors pour tout événement $B$ :

$P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \cdot P_{A_i}(B)$

Cas particulier (le plus fréquent au bac) : partition $\{A, \overline{A}\}$ .

$P(B) = P(A) \cdot P_A(B) + P(\overline{A}) \cdot P_{\overline{A}}(B)$

Formule de Bayes (renversement de conditionnement)

$P_B(A) = \frac{P(A) \cdot P_A(B)}{P(B)} = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Usage typique : "Sachant que $B$ s'est réalisé, quelle est la probabilité que $A$ ait causé $B$ ?"

Exemple emblématique : test médical. Si une maladie touche 1% de la population (P(M) = 0,01) et qu'un test détecte avec sensibilité 95% (P_M(T) = 0,95) et spécificité 90% (P_¬M(¬T) = 0,90), quelle est la probabilité d'être malade sachant qu'on a un test positif ?

$P_T(M) = \frac{P(M) \cdot P_M(T)}{P(T)} = \frac{0{,}01 \cdot 0{,}95}{0{,}01 \cdot 0{,}95 + 0{,}99 \cdot 0{,}10} = \frac{0{,}0095}{0{,}1085} \approx 8{,}8\%$

Surprenant : même test positif, la probabilité d'être réellement malade est de seulement 8,8% (effet de la faible prévalence).

Indépendance

Définition

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants ssi : $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Équivalences : $P_A(B) = P(B)$ et $P_B(A) = P(A)$ (la connaissance de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre).

Attention : différence avec "incompatibles"

Incompatibles : $A \cap B = \emptyset$ , donc $P(A \cap B) = 0$ . Ils ne peuvent pas se réaliser simultanément.
Indépendants : $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ . Connaître l'un ne change rien à l'autre.

Si $P(A) > 0$ et $P(B) > 0$ , des événements incompatibles ne sont jamais indépendants (et vice versa). Erreur fréquente au bac.

Exercice-type avec corrigé (format bac probas conditionnelles)

Énoncé (inspiré bac 2024)

Une usine produit des composants électroniques sur deux chaînes A et B.

60 % des composants viennent de A, 40 % de B.
2 % des composants de A sont défectueux.
5 % des composants de B sont défectueux.

On note $A$ = "le composant vient de A", $B$ = "le composant vient de B", $D$ = "le composant est défectueux".

Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
Calculer $P(D)$ .
Sachant qu'un composant est défectueux, quelle est la probabilité qu'il vienne de A ?

Corrigé

1. Arbre :

        0,60      ─── 0,02  → P(A ∩ D) = 0,012
       /          ─── 0,98  → P(A ∩ ¬D) = 0,588
      *
       \          ─── 0,05  → P(B ∩ D) = 0,020
        0,40      ─── 0,95  → P(B ∩ ¬D) = 0,380

2. Formule des probabilités totales : $P(D) = P(A) \cdot P_A(D) + P(B) \cdot P_B(D) = 0{,}60 \cdot 0{,}02 + 0{,}40 \cdot 0{,}05 = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032$ .

Donc 3,2 % des composants sont défectueux.

3. Bayes : $P_D(A) = \frac{P(A) \cdot P_A(D)}{P(D)} = \frac{0{,}60 \cdot 0{,}02}{0{,}032} = \frac{0{,}012}{0{,}032} = 0{,}375$ .

Donc 37,5 % des composants défectueux viennent de A (alors que A produit 60 % du total).

Pièges classiques à éviter

Confondre $P_A(B)$ et $P_B(A)$ . Ce n'est pas la même chose. Avant de calculer, repérer quel événement est "donné" (à droite du | ou en indice).
Confondre incompatibles et indépendants. Incompatibles : $P(A \cap B) = 0$ . Indépendants : $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ . Si les deux probabilités sont non nulles, incompatibilité exclut indépendance.
Oublier de vérifier que la partition couvre $\Omega$ . Pour utiliser la formule des probabilités totales, les $A_i$ doivent être disjoints et leur union doit être $\Omega$ .
Oublier que les probabilités sortant d'un nœud d'arbre somment à 1. Si $P_A(B) = 0{,}3$ , alors $P_A(\overline{B}) = 0{,}7$ — automatiquement.
Erreurs de calcul à l'arbre. Toujours multiplier le long d'un chemin (et donc) et additionner entre les chemins (ou). Mnémo : "Multipl. = ET, Addit. = OU".

Annales 2022-2025 connectées

2022 J1 Ex 1 : Probas + loi binomiale (médicament).
2022 J2 Ex 1 : Probas + binomiale.
2023 J1 Ex 1 : QCM probas (arbre + binomiale).
2023 J2 Ex 1 : QCM probas.
2024 J1 Ex 2 : Probas conditionnelles + binomiale.
2024 J2 Ex 1 : Probas + binomiale.
2025 J1 Ex 1 : Probas (groupes sanguins) + binomiale.
2025 J2 Ex 1 : Probas (centre multisports) + binomiale.

Bilan : 8 apparitions sur 8 sessions = 100 %. C'est l'exercice le plus prévisible du bac maths spé. Le format est extrêmement stable : (1) calcul d'une probabilité via arbre/totales, (2) calcul d'une conditionnelle via Bayes, (3) basculement vers loi binomiale en seconde partie.

Q&R pour le tuteur IA

Q : Quelle différence entre indépendance et incompatibilité ? R : Indépendance : la connaissance de l'un ne change pas la probabilité de l'autre, formellement $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ . Incompatibilité : les deux ne peuvent pas se réaliser simultanément, donc $P(A \cap B) = 0$ . Si les deux probabilités sont non nulles, ce sont des notions opposées.

Q : Quand utiliser la formule de Bayes ? R : Quand on veut renverser un conditionnement : on connaît $P_A(B)$ , on cherche $P_B(A)$ . Typiquement pour des questions du type "sachant que [conséquence], quelle est la probabilité de [cause] ?".

Q : Comment construire un arbre pondéré ? R : (1) Identifier l'événement initial (souvent une partition de $\Omega$ comme {A, ¬A}). (2) Tracer les branches du 1er niveau avec leurs probabilités (somme = 1). (3) Pour chaque branche, identifier l'événement conditionnel et tracer ses sous-branches (somme = 1). (4) Pondérer chaque sous-branche par sa probabilité conditionnelle.

Q : Comment savoir si je dois faire un arbre ou utiliser Bayes directement ? R : Arbre = pour visualiser et calculer $P(A \cap B)$ et $P(B)$ étape par étape. Bayes = directement pour calculer $P_B(A)$ une fois qu'on a $P(A \cap B)$ et $P(B)$ . Au bac, l'arbre est presque toujours demandé explicitement, suivi par les calculs.