Maths — Géométrie (Pythagore, Thalès, trigonométrie, transformations)

Épreuve — Mathématiques, 30 juin 2026, coefficient 2. La géométrie occupe une grande place dans la partie « résolution de problèmes » (14 points). Pythagore, Thalès et la trigonométrie sont les outils les plus utilisés.

Probabilité 2026 : ⭐⭐⭐⭐⭐ — au moins un de ces théorèmes (Pythagore, Thalès, trigo) apparaît à chaque session. La géométrie dans l'espace (volumes) et les transformations complètent.

Le théorème de Pythagore

Cadre : uniquement dans un triangle rectangle.

Calculer une longueur

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ , l'hypoténuse est $[BC]$ (le côté opposé à l'angle droit, le plus long) :

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

Exemple : $AB = 3$ , $AC = 4$ . Alors $BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ , donc $BC = \sqrt{25} = 5$ .

Pour trouver un côté de l'angle droit (pas l'hypoténuse) : on soustrait. Si $BC = 13$ (hypoténuse) et $AB = 5$ , alors $AC^2 = BC^2 - AB^2 = 169 - 25 = 144$ , donc $AC = 12$ .

La réciproque (montrer qu'un triangle est rectangle)

Si $BC^2 = AB^2 + AC^2$ (où $BC$ est le plus grand côté), alors le triangle est rectangle en $A$ .

Méthode : calculer séparément $BC^2$ d'un côté, et $AB^2 + AC^2$ de l'autre. Si égaux → rectangle. Si différents → pas rectangle.

Le théorème de Thalès

Cadre : deux droites sécantes coupées par deux parallèles. Configuration « triangle » ou « papillon ».

Si $(BC) \parallel (DE)$ , avec $A$ , $B$ , $D$ alignés et $A$ , $C$ , $E$ alignés :

$\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE}$

Méthode : (1) repérer les parallèles, (2) écrire les trois rapports dans le bon ordre (un même triangle au numérateur), (3) utiliser le produit en croix pour trouver la longueur manquante.

Exemple : $AB = 4$ , $AD = 6$ , $BC = 5$ . Trouver $DE$ . $\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE} \implies \frac{4}{6} = \frac{5}{DE} \implies DE = \frac{6 \times 5}{4} = 7{,}5$

La réciproque (montrer que deux droites sont parallèles)

Si $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}$ et que les points sont alignés dans le même ordre, alors $(BC) \parallel (DE)$ .

Piège Thalès : l'ordre des points doit être cohérent. Vérifie que les sommets se correspondent (le petit triangle « emboîté » dans le grand). Mets toujours les longueurs du même triangle ensemble.

La trigonométrie

Cadre : triangle rectangle. Permet de relier un angle et des longueurs.

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\widehat{x}$ :

$\cos(\widehat{x}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \sin(\widehat{x}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan(\widehat{x}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$

Moyen mnémotechnique : SOH-CAH-TOA

Sin = Opposé / Hypoténuse
Cos = Adjacent / Hypoténuse
Tan = Opposé / Adjacent

Trouver un angle

Si tu connais deux côtés, tu trouves l'angle avec les touches $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$ de la calculatrice.

Exemple : côté opposé = 3, hypoténuse = 6. Alors $\sin(\widehat{x}) = \dfrac{3}{6} = 0{,}5$ , donc $\widehat{x} = \sin^{-1}(0{,}5) = 30°$ .

Comment choisir entre cos, sin, tan ? Repère par rapport à l'angle les deux longueurs en jeu (celle connue et celle cherchée) : adjacent + hypoténuse → cosinus ; opposé + hypoténuse → sinus ; opposé + adjacent → tangente.

Géométrie dans l'espace : volumes

Formules à connaître par cœur (rien n'est donné) :

Solide	Volume
Pavé droit (longueur $L$ , largeur $l$ , hauteur $h$ )	$V = L \times l \times h$
Cylindre (rayon $r$ , hauteur $h$ )	$V = \pi r^2 \times h$
Cône (rayon $r$ , hauteur $h$ )	$V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 \times h$
Pyramide (base d'aire $\mathcal{B}$ , hauteur $h$ )	$V = \dfrac{1}{3} \mathcal{B} \times h$
Boule (rayon $r$ )	$V = \dfrac{4}{3} \pi r^3$

Agrandissement / réduction (effet d'échelle)

Si on multiplie toutes les longueurs par un coefficient $k$ :

les aires sont multipliées par $k^2$ ,
les volumes sont multipliés par $k^3$ .

Exemple : on double les dimensions d'un cube ( $k = 2$ ). Son volume est multiplié par $2^3 = 8$ .

Piège très fréquent : croire que doubler les longueurs double l'aire ou le volume. Non : l'aire est ×4, le volume est ×8. Cette question tombe régulièrement.

Les transformations

Au programme de 3e : translation, rotation, symétries (axiale et centrale) et homothétie.

Transformation	Ce qu'elle fait	Conserve
Translation	glissement dans une direction	longueurs, angles, aires
Rotation	tourne autour d'un centre, d'un angle	longueurs, angles, aires
Symétrie axiale	reflet par rapport à une droite	longueurs, angles, aires
Symétrie centrale	demi-tour autour d'un point	longueurs, angles, aires
Homothétie (rapport $k$ )	agrandit/réduit depuis un centre	angles (multiplie les longueurs par $k$ )

L'homothétie est la seule qui change les longueurs (sauf si $k = 1$ ). Elle est le lien direct avec Thalès et les agrandissements/réductions.

Exercice-type avec corrigé (format brevet)

Énoncé

Un triangle $ABC$ est tel que $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm et $BC = 10$ cm.

Montrer que $ABC$ est rectangle. Préciser en quel sommet.
Calculer la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$ , arrondie au degré.

Corrigé

1. Le plus grand côté est $BC = 10$ . On calcule :

$BC^2 = 10^2 = 100$
$AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

Comme $BC^2 = AB^2 + AC^2$ , d'après la réciproque de Pythagore, $ABC$ est rectangle en $A$ .

2. Dans le triangle rectangle en $A$ , pour l'angle $\widehat{ABC}$ (en $B$ ) :

côté adjacent à $B$ : $AB = 6$
hypoténuse : $BC = 10$

$\cos(\widehat{ABC}) = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = 0{,}6 \implies \widehat{ABC} = \cos^{-1}(0{,}6) \approx 53°$

Pièges classiques à éviter

Appliquer Pythagore hors d'un triangle rectangle : impossible.
Confondre hypoténuse et côté de l'angle droit (on additionne pour l'hypoténuse, on soustrait pour un autre côté).
Mauvais ordre des rapports dans Thalès (mélanger les longueurs de deux triangles différents).
Mauvais choix cos/sin/tan : repère bien adjacent, opposé, hypoténuse par rapport à l'angle considéré.
Oublier l'effet $k^2$ / $k^3$ sur aires et volumes lors d'un agrandissement.
Calculatrice en radians au lieu de degrés (vérifier le mode « DEG »).

Q&R pour le tuteur IA

Q : Comment savoir si je dois utiliser le théorème de Pythagore ou sa réciproque ? R : Si on te demande de calculer une longueur dans un triangle déjà rectangle → théorème direct. Si on te demande de prouver qu'un triangle est rectangle (ou de vérifier un angle droit) à partir des trois longueurs → réciproque : compare $BC^2$ et $AB^2 + AC^2$ .

Q : Comment choisir entre cosinus, sinus et tangente ? R : Place-toi du point de vue de l'angle. Identifie les deux longueurs en jeu (celle que tu connais + celle que tu cherches, ou les deux connues si tu cherches l'angle). Adjacent + hypoténuse → cos. Opposé + hypoténuse → sin. Opposé + adjacent → tan. SOH-CAH-TOA résume tout.

Q : Si je double toutes les dimensions d'une figure, qu'arrive-t-il à l'aire et au volume ? R : Les longueurs sont ×2, mais l'aire est × $2^2$ = ×4 et le volume est × $2^3$ = ×8. Règle générale : pour un coefficient d'agrandissement $k$ , les aires sont × $k^2$ et les volumes × $k^3$ . C'est un piège classique du brevet.

Q : Dans Thalès, comment ne pas me tromper dans les rapports ? R : Écris les rapports en gardant chaque triangle ensemble : numérateurs = longueurs du petit triangle, dénominateurs = longueurs correspondantes du grand. Vérifie que les sommets se correspondent (même point de départ commun aux deux droites). Puis utilise le produit en croix.