Maths — Statistiques, probabilités et algorithmique (Scratch)

Épreuve — Mathématiques, 30 juin 2026, coefficient 2. Statistiques, probabilités et un exercice d'algorithmique (souvent un programme Scratch) sont presque toujours présents dans la partie « résolution de problèmes ».

Probabilité 2026 : ⭐⭐⭐⭐⭐ — l'exercice Scratch/algorithmique tombe quasiment à chaque session ; statistiques et probabilités sont des grands classiques. Ces exercices sont souvent très accessibles : à ne pas rater.

Les statistiques

Vocabulaire de base

Effectif : le nombre de fois qu'une valeur apparaît.
Effectif total : le nombre de données.
Fréquence : $\dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$ (souvent en %).

La moyenne

$\text{moyenne} = \frac{\text{somme de toutes les valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$

Moyenne pondérée (avec effectifs) : $\bar{x} = \frac{(v_1 \times n_1) + (v_2 \times n_2) + \dots}{n_1 + n_2 + \dots}$

Exemple : notes 8 (×3 élèves), 12 (×5), 15 (×2). $\bar{x} = \frac{8 \times 3 + 12 \times 5 + 15 \times 2}{3 + 5 + 2} = \frac{24 + 60 + 30}{10} = \frac{114}{10} = 11{,}4$

La médiane

La médiane partage la série (rangée dans l'ordre croissant) en deux moitiés : autant de valeurs au-dessus qu'en dessous.

Méthode :

Ranger les valeurs dans l'ordre croissant.
Si le nombre de valeurs est impair : la médiane est la valeur du milieu.
Si pair : la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales.

Exemple (impair) : 4, 7, 8, 10, 15 → médiane = 8 (3e valeur sur 5). Exemple (pair) : 4, 7, 8, 10 → médiane = $\dfrac{7 + 8}{2} = 7{,}5$ .

L'étendue

$\text{étendue} = \text{valeur maximale} - \text{valeur minimale}$

Elle mesure la dispersion (l'écart total) de la série.

Piège fréquent : moyenne ≠ médiane. La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes ; la médiane non. Si une série a un salaire très élevé, la moyenne « grimpe » mais la médiane reste représentative. Une question type demande d'interpréter cette différence.

Les probabilités

La probabilité d'un événement mesure sa chance de se produire, entre 0 (impossible) et 1 (certain).

Cas d'équiprobabilité

Quand toutes les issues ont la même chance :

$P(\text{événement}) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}$

Exemple (dé à 6 faces) : $P(\text{obtenir un 4}) = \dfrac{1}{6}$ . $P(\text{nombre pair}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ (issues favorables : 2, 4, 6).

Événement contraire

$P(\text{contraire de A}) = 1 - P(A)$

Exemple : si $P(\text{pluie}) = 0{,}3$ , alors $P(\text{pas de pluie}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$ .

Expériences à deux étapes (arbre)

Pour deux tirages successifs, on construit un arbre de probabilités. On multiplie les probabilités le long d'une branche.

Exemple : une urne avec 2 boules rouges et 3 bleues. On tire une boule, on la remet, on en tire une autre. $P(\text{2 rouges}) = \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$

Avec ou sans remise ? Lis bien l'énoncé. Avec remise : les probabilités restent les mêmes au 2e tirage. Sans remise : il y a une boule de moins, donc le dénominateur change (et le numérateur si on retire une boule de la couleur tirée).

L'algorithmique (Scratch / programmes)

Au brevet, l'algorithmique apparaît sous deux formes : un programme Scratch (blocs) ou un programme de calcul en français.

Lire un programme de calcul

Exemple d'énoncé : « Choisir un nombre. Le multiplier par 3. Ajouter 5. »

Avec $x$ comme nombre de départ : le résultat est $3x + 5$ .
« Quel résultat pour $x = 4$ ? » → $3 \times 4 + 5 = 17$ .
« Quel nombre de départ donne 20 ? » → résoudre $3x + 5 = 20$ , donc $x = 5$ .

Comprendre un script Scratch

Les notions clés des scripts au brevet :

Variables : une « boîte » qui stocke une valeur (ex : « score », « x », « compteur »).
Boucles : « répéter 4 fois » (boucle bornée) ou « répéter jusqu'à… ».
Instructions conditionnelles : « si … alors … sinon … ».
Déplacements / tracés : « avancer de 50 », « tourner de 90° », « stylo en position d'écriture » (pour tracer des figures géométriques).

Question type 1 : « Quelle figure trace ce script ? » → suivre les déplacements pas à pas. Une boucle « répéter 4 fois : avancer de 50, tourner de 90° » trace un carré de côté 50.

Question type 2 : « Que vaut la variable à la fin ? » → simuler le programme étape par étape, en notant la valeur de la variable à chaque tour de boucle.

Méthode infaillible pour Scratch : prends un papier et simule à la main, tour de boucle par tour de boucle. Note dans un tableau la valeur de chaque variable à chaque étape. Ne tente pas de deviner « de tête » : c'est là qu'on se trompe.

Exercice-type avec corrigé (format brevet)

Énoncé

Voici les notes d'un contrôle : 8, 12, 12, 14, 9, 18, 11, 12, 7, 15.

Calculer la moyenne de la classe.
Déterminer la médiane.
Calculer l'étendue.
On choisit une copie au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle ait une note strictement supérieure à 12 ?

Corrigé

1. Somme = $8+12+12+14+9+18+11+12+7+15 = 118$ . Moyenne = $\dfrac{118}{10} = 11{,}8$ .

2. Notes rangées : 7, 8, 9, 11, 12, 12, 12, 14, 15, 18. Il y a 10 valeurs (pair) → médiane = moyenne des 5e et 6e valeurs = $\dfrac{12 + 12}{2} = 12$ .

3. Étendue = $18 - 7 = 11$ .

4. Notes strictement supérieures à 12 : 14, 18, 15 → 3 copies sur 10. $P = \frac{3}{10} = 0{,}3$

Pièges classiques à éviter

Oublier de ranger les valeurs avant de chercher la médiane.
Confondre moyenne et médiane (ce sont deux indicateurs différents).
En probabilité, oublier de simplifier la fraction.
Avec / sans remise : ne pas adapter les dénominateurs au 2e tirage.
Scratch : se tromper en simulant la boucle (toujours faire un tableau, étape par étape).
« Strictement supérieur » vs « supérieur ou égal » : 12 n'est pas « strictement supérieur à 12 ».

Q&R pour le tuteur IA

Q : Quelle est la différence entre la moyenne et la médiane ? R : La moyenne est la somme des valeurs divisée par leur nombre ; elle est tirée vers le haut ou le bas par les valeurs extrêmes. La médiane est la valeur du milieu d'une série rangée : la moitié des données sont en dessous, la moitié au-dessus. La médiane n'est pas affectée par une valeur très grande ou très petite, ce qui la rend parfois plus « représentative ».

Q : Comment calculer une probabilité avec un arbre à deux tirages ? R : Tu dessines un arbre avec les issues possibles à chaque étape, en notant la probabilité sur chaque branche. Pour la probabilité d'un chemin complet, tu multiplies les probabilités le long des branches. Pour un événement qui correspond à plusieurs chemins, tu additionnes les probabilités de ces chemins. Attention à savoir si c'est avec ou sans remise.

Q : Comment savoir quelle figure trace un script Scratch ? R : Suis les instructions dans l'ordre, à la main, en dessinant chaque déplacement sur un quadrillage. Une boucle « répéter $n$ fois : avancer de $L$ , tourner de $a$ » trace un polygone régulier : si l'angle est $90°$ répété 4 fois, c'est un carré ; si c'est $120°$ répété 3 fois, un triangle équilatéral. La règle : l'angle de rotation vaut $\dfrac{360°}{\text{nombre de côtés}}$ .

Q : Comment retrouver le nombre de départ d'un programme de calcul si je connais le résultat ? R : Tu traduis le programme en une expression avec $x$ (le nombre de départ), tu poses l'équation « expression = résultat », puis tu la résous. Exemple : « multiplier par 4, enlever 3 » donne $4x - 3$ ; si le résultat est 17, tu résous $4x - 3 = 17$ , donc $x = 5$ .