Maths — Fonctions, proportionnalité et pourcentages

Épreuve — Mathématiques, 30 juin 2026, coefficient 2. La proportionnalité et les pourcentages tombent dans les automatismes et dans les problèmes. Les fonctions linéaires et affines sont un grand classique de la 3e, souvent associés à une lecture graphique.

Probabilité 2026 : ⭐⭐⭐⭐⭐ — proportionnalité et pourcentages sont omniprésents (presque toutes les questions « concrètes »). Les fonctions linéaires/affines apparaissent très régulièrement, souvent avec un graphique à lire.

La proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles si on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre : le coefficient de proportionnalité.

Reconnaître la proportionnalité dans un tableau

On vérifie : $3 \div 2 = 1{,}5$ ; $7{,}5 \div 5 = 1{,}5$ ; $12 \div 8 = 1{,}5$. Même quotient → proportionnel. Le coefficient est $1{,}5$ (le prix unitaire).

Le produit en croix (la 4e proportionnelle)

Pour compléter un tableau de proportionnalité :

$\frac{a}{b} = \frac{c}{x} \implies x = \frac{b \times c}{a}$

Exemple : 3 stylos coûtent 4,50 €. Combien coûtent 7 stylos ? $\frac{3}{4{,}50} = \frac{7}{x} \implies x = \frac{4{,}50 \times 7}{3} = 10{,}50 \text{ €}$

Les pourcentages

Calculer un pourcentage d'une quantité

Prendre $p\%$ d'un nombre = multiplier par $\dfrac{p}{100}$.

Exemple : $20\%$ de 80 = $80 \times \dfrac{20}{100} = 80 \times 0{,}2 = 16$.

Augmentations et réductions (coefficient multiplicateur)

C'est la technique à maîtriser, car elle tombe partout.

• Augmenter de $p\%$ → multiplier par $\left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$.
• Diminuer de $p\%$ → multiplier par $\left(1 - \dfrac{p}{100}\right)$.

Exemple : un article à 50 € augmente de 20 %. Nouveau prix : $50 \times 1{,}20 = 60$ €.

Piège classique : appliquer deux pourcentages à la suite. Une hausse de 10 % puis une baisse de 10 % ne ramène pas au prix de départ. $100 \times 1{,}10 \times 0{,}90 = 99$ €. On multiplie les coefficients, on ne les additionne pas.

Retrouver le pourcentage à partir de deux valeurs

$\text{pourcentage d'évolution} = \frac{\text{valeur d'arrivée} - \text{valeur de départ}}{\text{valeur de départ}} \times 100$

Exemple : un prix passe de 40 € à 50 €. Évolution : $\dfrac{50 - 40}{40} \times 100 = \dfrac{10}{40} \times 100 = 25\%$ d'augmentation.

Les fonctions

Une fonction $f$ associe à un nombre $x$ (l'antécédent) un unique nombre $f(x)$ (l'image). Notation : $x \mapsto f(x)$.

Vocabulaire à maîtriser

• Image de 3 par $f$ : c'est $f(3)$, le nombre qu'on obtient en remplaçant $x$ par 3.
• Antécédent de 7 : c'est le ou les $x$ tels que $f(x) = 7$ (on résout une équation).

Lecture graphique :

• pour une image : je pars de $x$ sur l'axe horizontal, je monte jusqu'à la courbe, je lis la hauteur.
• pour un antécédent : je pars de la valeur sur l'axe vertical, je vais horizontalement jusqu'à la courbe, je lis l'abscisse.

Fonctions linéaires et affines

Fonction linéaire

$f(x) = a \times x$

• $a$ est le coefficient directeur (= coefficient de proportionnalité).
• Représentation graphique : une droite passant par l'origine $O(0\,;0)$.
• Modélise toute situation de proportionnalité.

Exemple : $f(x) = 2x$. Alors $f(5) = 10$. La droite passe par $(0\,;0)$ et $(5\,;10)$.

Fonction affine

$f(x) = a \times x + b$

• $a$ = coefficient directeur (la « pente »).
• $b$ = ordonnée à l'origine (la hauteur où la droite coupe l'axe vertical, car $f(0) = b$).
• Représentation graphique : une droite (qui ne passe par l'origine que si $b = 0$).

Exemple : $f(x) = 3x - 2$. La droite coupe l'axe vertical en $-2$ et monte de 3 quand $x$ augmente de 1.

Calculer le coefficient directeur entre deux points

Si la droite passe par $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ :

$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

Exemple : la droite passe par $A(1\,;5)$ et $B(3\,;11)$. Alors $a = \dfrac{11 - 5}{3 - 1} = \dfrac{6}{2} = 3$.

Différence clé linéaire / affine : la fonction linéaire ($f(x)=ax$) traduit la proportionnalité et sa droite passe par l'origine. La fonction affine ($f(x)=ax+b$) a un « point de départ » $b$ et sa droite ne passe pas par l'origine (sauf si $b=0$). Un abonnement avec frais fixes + prix par mois = fonction affine.

Exercice-type avec corrigé (format brevet)

Énoncé

Deux salles de sport proposent :

• Salle A : 5 € par séance.
• Salle B : un abonnement de 30 € + 2 € par séance.

On note $x$ le nombre de séances.

1. Exprimer le prix payé $A(x)$ et $B(x)$ en fonction de $x$.
2. Calculer le prix dans chaque salle pour 8 séances.
3. À partir de combien de séances la salle B devient-elle plus avantageuse ?

Corrigé

1. $A(x) = 5x$ (fonction linéaire). $B(x) = 2x + 30$ (fonction affine).

2. Pour $x = 8$ : $A(8) = 5 \times 8 = 40$ € ; $B(8) = 2 \times 8 + 30 = 46$ €. La salle A est moins chère à 8 séances.

3. On cherche quand $B(x) < A(x)$, c'est-à-dire $2x + 30 < 5x$ : $30 < 5x - 2x \implies 30 < 3x \implies x > 10$ À partir de 11 séances, la salle B devient plus avantageuse (à 10 séances, les deux coûtent 50 €).

Pièges classiques à éviter

1. Additionner les pourcentages successifs au lieu de multiplier les coefficients.
2. Croire que +10 % puis −10 % ramène au départ (faux : ×1,1×0,9 = 0,99).
3. Confondre image et antécédent : $f(3)$ est une image ; trouver $x$ tel que $f(x)=7$ est un antécédent.
4. Confondre linéaire et affine : sans le « + $b$ », pas de frais fixes ; la droite passe par l'origine.
5. Mauvais sens du produit en croix (intervertir numérateur et dénominateur).

Q&R pour le tuteur IA

Q : Comment augmenter un prix de 15 % en une seule opération ? R : Multiplie par le coefficient $1 + \dfrac{15}{100} = 1{,}15$. Exemple : 200 € augmenté de 15 % = $200 \times 1{,}15 = 230$ €. Pour une baisse de 15 %, multiplie par $1 - 0{,}15 = 0{,}85$.

Q : Quelle est la différence entre une fonction linéaire et une fonction affine ? R : Une fonction linéaire s'écrit $f(x) = ax$ : sa droite passe par l'origine et elle traduit une proportionnalité. Une fonction affine s'écrit $f(x) = ax + b$ : le $b$ est une valeur de départ (frais fixes, ordonnée à l'origine) et sa droite ne passe pas par l'origine. Toute fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine (avec $b = 0$).

Q : Comment trouver l'antécédent d'un nombre par une fonction ? R : Tu résous une équation. Pour trouver l'antécédent de 7 par $f(x) = 2x + 1$, tu poses $2x + 1 = 7$, puis tu résous : $2x = 6$, donc $x = 3$. L'antécédent de 7 est 3. (À ne pas confondre avec l'image, qui est le résultat de $f(x)$ pour un $x$ donné.)

Q : Comment lire un coefficient directeur sur un graphique ? R : Choisis deux points bien placés sur la droite. Le coefficient directeur, c'est « de combien on monte (verticalement) quand on avance de 1 (horizontalement) ». Formellement $a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. S'il est positif, la droite monte ; négatif, elle descend.